高考數(shù)學(xué)解題技巧知識(shí)大全(編輯修改稿)

　

【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 Ⅱ）設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為Tn，且，求證：對(duì)任意正整數(shù)n，總有【巧解】（Ⅰ）解： ① ②①—②，得 即數(shù)列是等比數(shù)列. （Ⅱ）證明：∵對(duì)任意正整數(shù)n，總有 巧練一：已知數(shù)列{}的通項(xiàng)為，前項(xiàng)和為，且是與2的等差中項(xiàng)；數(shù) 列{}中，點(diǎn)P（，）在直線上，（Ⅰ）求數(shù)列{}、{}的通項(xiàng)公式，；（Ⅱ）設(shè){}的前項(xiàng)和為，試比較與2的大小；巧練二：已知數(shù)列，且對(duì)任意，都有上. （1）求數(shù)列{}的通項(xiàng)公式； （2）求證：二十、反證法從否定命題的結(jié)論入手，并把對(duì)命題結(jié)論的否定作為推理的已知條件，進(jìn)行正確的邏輯推理，使之得到與已知條件、公理、定理、法則或已經(jīng)證明為正確的命題等相矛盾，矛盾的原因是假設(shè)不成立，所以肯定了命題的結(jié)論，從而使命題獲得了證明的證明方法叫反證法。基本證明模式是：要證明，先假設(shè)，由已知及性質(zhì)推出矛盾，從而肯定，適用范圍：①否定性命題；②唯一性命題；③含有“至多”、“至少”問(wèn)題。④根據(jù)問(wèn)題條件和結(jié)論，情況復(fù)雜難于入手，可考慮試用反證法。 反證法是屬于“間接證明法”一類，是從反面的角度思考問(wèn)題的證明方法，即：否定結(jié)論推導(dǎo)出矛盾肯定結(jié)論成立，應(yīng)用反證法證明的主要三步是：第一步，反設(shè)——作出與求證結(jié)論相反的假設(shè)；第二步——?dú)w謬：將反設(shè)作為條件，并由此通過(guò)一系列的正確推理導(dǎo)出矛盾；第三步——肯定結(jié)論：說(shuō)明反設(shè)不成立，從而肯定原命題成立。【例1】若證明 ，不能同時(shí)大于【巧證】假設(shè)，那么；同理，上述三式相加得，矛盾，故假設(shè)不成立，原命題成立【例2】求證：不是周期函數(shù)【巧證】假設(shè)函數(shù)是周期函數(shù)，是它的一個(gè)周期，即對(duì)任意都有成立，令，得即，∴，分兩種情況討論：（1）若，則對(duì)任意都成立，取，有，即，而，∴不是該函數(shù)的周期。（2）若，則有對(duì)任意都成立，取，有有，即，而，∴不是該函數(shù)的周期。由（1）和（2）說(shuō)明不是該函數(shù)的周期。故假設(shè)不成立，從而命題得證。巧練一：設(shè)，求證、之中至少有一個(gè)不小于巧練二：若下列方程：，至少有一個(gè)方程有實(shí)根。試求實(shí)數(shù)的取值范圍。二十一、換元法解數(shù)學(xué)題時(shí)，把某個(gè)式子看成一個(gè)整體，用一個(gè)變量去代替它，從而使問(wèn)題得到簡(jiǎn)化，這叫換元法。換元法又稱輔助元素法、變量代換法。通過(guò)引進(jìn)新的變量，可以把分散的條件聯(lián)系起來(lái)，隱含的條件顯露出來(lái)，或者把條件與結(jié)論聯(lián)系起來(lái)。或者變?yōu)槭煜さ男问剑褟?fù)雜的計(jì)算和推證簡(jiǎn)化。它可以化高次為低次、化分式為整式、化無(wú)理式為有理式、化超越式為代數(shù)式，在研究方程、不等式、函數(shù)、數(shù)列、三角等問(wèn)題中有廣泛的應(yīng)用。換元的實(shí)質(zhì)是轉(zhuǎn)化，關(guān)鍵是構(gòu)造元和設(shè)元，理論依據(jù)是等量代換，目的是變換研究對(duì)象，將問(wèn)題移至新對(duì)象的知識(shí)背景中去研究，從而使非標(biāo)準(zhǔn)型問(wèn)題標(biāo)準(zhǔn)化、復(fù)雜問(wèn)題簡(jiǎn)單化，變得容易處理。換元的方法有：（1）局部換元，局部換元又稱整體換元，是在已知或者未知中，某個(gè)代數(shù)式幾次出現(xiàn)，而用一個(gè)字母來(lái)代替它從而簡(jiǎn)化問(wèn)題，當(dāng)然有時(shí)候要通過(guò)變形才能發(fā)現(xiàn)。例如解不等式，先變形為設(shè)，而變?yōu)槭煜さ囊辉尾坏仁角蠼夂椭笖?shù)方程的問(wèn)題。（2）三角換元，應(yīng)用于去根號(hào)，或者變換為三角形式易求時(shí)，主要利用已知代數(shù)式中與三角知識(shí)中有某點(diǎn)聯(lián)系進(jìn)行換元。如求函數(shù)的值域時(shí)，易發(fā)現(xiàn)設(shè)，問(wèn)題變成了熟悉的求三角函數(shù)值域。為什么會(huì)想到如此設(shè)，其中主要應(yīng)該是發(fā)現(xiàn)值域的聯(lián)系，又有去根號(hào)的需要。如：已知 ，可設(shè)，已知 ，可設(shè)，已知，可設(shè)，已知，可設(shè)，（3）均值換元，如遇到形式時(shí)，設(shè) 等等。我們使用換元法時(shí)，要遵循有利于運(yùn)算、有利于標(biāo)準(zhǔn)化的原則，換元后要注重新變量范圍的選取，一定要使新變量范圍對(duì)應(yīng)于原變量的取值范圍，不能縮小也不能擴(kuò)大。【例1】（2008年，江西卷）若函數(shù)的值域是，則函數(shù) 的值域是（ ） A． B． C． D． 【巧解】令，問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)在的值域，于是由函數(shù)在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù)，得，故本題選B【例2】（2008年，重慶卷）函數(shù)的值域是（）20080807 （A）[－] （B）[－1,0] （C）[－] （D）[－]【巧解】 ，當(dāng)時(shí)，原式，令，即，∴，即，其中，又，∴，即，解之得，∴，當(dāng)時(shí)，綜上知的值域?yàn)椋时绢}選B巧練一：函數(shù)的值域是 （ ） A． B． C． D．巧練二：(2005年，福建卷)設(shè)的最小值是（ ） A． B． C．－3 D． 共98種解題方法，其他略第十一章 不等式難點(diǎn)巧學(xué)一、活用倒數(shù)法則 巧作不等變換——不等式的性質(zhì)和應(yīng)用不等式的性質(zhì)和運(yùn)算法則有許多,如對(duì)稱性,傳遞性,尤其是不等變換有很大的優(yōu)越性.倒數(shù)法則：若ab0,則ab與等價(jià)。此法則在證明或解不等式中有著十分重要的作用。如：（1998年高考題改編）解不等式loga(1)1.分析：當(dāng)a1時(shí)，原不等式等價(jià)于：1a,即 1a ,∵a1,∴1a0, 0,從而1a, 同號(hào)，由倒數(shù)法則，得x。 當(dāng)0a1時(shí)，原不等式等價(jià)于 01 a,∴1a1, ∵0a1，∴ 1a0, 0, 從而1a, 同號(hào)，由倒數(shù)法則，得1x。綜上所述，當(dāng)a1時(shí),x∈(,+∞)；當(dāng)0a1時(shí)，x∈(1,).注：有關(guān)不等式性質(zhì)的試題，常以選擇題居多，通常采用特例法,排除法比較有效。二、小小等號(hào)也有大作為——絕對(duì)值不等式的應(yīng)用絕對(duì)值不等式：||a||b||≤|a177。b|≤|a|+|b|。這里a,b既可以表示向量，也可以表示實(shí)數(shù)。當(dāng)a,b表示向量時(shí)，不等式等號(hào)成立的條件是：向量a與b共線；當(dāng)a,b表示實(shí)數(shù)時(shí)，有兩種情形：（1）當(dāng)ab≥0時(shí)，|a+b|=|a|+|b|, |ab|=||a||b||。(2)當(dāng)ab≤0時(shí)，|a+b|=||a||b||, |ab|=|a|+|b|.簡(jiǎn)單地說(shuō)就是當(dāng)a,b同號(hào)或異號(hào)時(shí)，不等式就可轉(zhuǎn)化為等式（部分地轉(zhuǎn)化），這為解決有關(guān)問(wèn)題提供了十分有效的解題工具。如：若1,則下列結(jié)論中不正確的是（ ）A、logablogba B、| logab+logba|2 C、(logba)21 D、|logab|+|logba||logab+logba|分析：由已知，得0ba1,∴a,b同號(hào)，故|logab|+|logba|=|logab+logba|，∴D錯(cuò)。[答案] D注：絕對(duì)值不等式是一個(gè)十分重要的不等式，其本身的應(yīng)用價(jià)值很廣泛，但在高考或其他試題中常設(shè)計(jì)成在等號(hào)成立時(shí)的特殊情況下的討論，因此利用等號(hào)成立的條件（a,b同號(hào)或異號(hào)）是解決這一類問(wèn)題的一個(gè)巧解。三、“抓兩頭 看中間”，巧解“雙或不等式”——不等式的解法（1）解不等式（組）的本質(zhì)就是對(duì)不等式（組）作同解變形、等價(jià)變換。（2）多個(gè)不等式組成的不等式組解集的合成——先同向再異向不等式組的解法最關(guān)鍵的是最后對(duì)幾個(gè)不等式交集的確定。常用畫數(shù)軸的方法來(lái)確定,?下面的方法就十分有效。可以“先同向再異向”的原則來(lái)確定，即先將同向不等式“合并”（求交集），此時(shí)“小于小的，大于大的”；最后余下的兩個(gè)異向不等式，要么為空集，要么為兩者之間。如解不等式組:,先由③④(同)得x0(大于大的)。再由①②(同)得x1(小于小的)。再將x0與x1分別與⑤作交集,由x0與⑤得0x2。由x1與⑤得1x(0,1).（3）雙或不等式組的解集合成 形如的不等式組稱為“雙或”型不等式組（實(shí)際上包括多個(gè)“或”型不等式組成的不等式組也在此列），這是解不等式組中的一個(gè)難點(diǎn)。解決這類不等式組時(shí)常借用數(shù)軸來(lái)確定，但學(xué)生在求解時(shí)總會(huì)出現(xiàn)一些錯(cuò)誤。這里介紹一種不通過(guò)數(shù)軸的直接方法：“抓兩頭 看中間”！如：,先比較a,b,c,d四個(gè)數(shù)的大小，如abcd,則其解集中必含有xa或xd（即抓兩頭）；再看xb與xc的交集，若有公共部分，則bxc。若無(wú)公共部分，則此時(shí)為空集（看中間），最后將“抓兩頭”和“看中間”的結(jié)果作并集即為所求的解集。四、巧用均值不等式的變形式解證不等式均值不等式是指：a2+b2≥2ab(a,b∈R) ①；a+b≥2( a,b∈R+) ②.均值不等式是高考的重點(diǎn)考查內(nèi)容，但其基本公式只有兩個(gè)，在實(shí)際解題時(shí)不是很方便。若能對(duì)均值不等式進(jìn)行適當(dāng)變形，那么在解題時(shí)就能達(dá)到事半功倍的效果。下面的一些變形式在解題時(shí)就很有用，不妨一試。當(dāng)然你也可以根據(jù)需要推導(dǎo)一些公式。如：(1) a2≥2abb2 ③。 是將含一個(gè)變量的式子，通過(guò)縮小變?yōu)楹瑑蓚€(gè)變量的式子，體現(xiàn)增元之功效，當(dāng)然反過(guò)來(lái)即是減元；(2) ≥2ab ④。 (a,b0)是將分式化為整式，體現(xiàn)分式的整式化作用。試試下面兩個(gè)問(wèn)題如何解:求證：（1）a2+b2+c2≥ab+bc+ac。(2) ++≥a+b+c. (a,b,c0)（析：（1）由a2≥2abb2得b2≥2bcc2 ,c2≥2aca2,三式相加整理即得；（2）∵≥2ab∴同樣可得另兩式，再將三式相加整理即得）。(3)ab≤()2 ⑤。利用不等關(guān)系實(shí)現(xiàn)兩數(shù)和與兩數(shù)積的互化； (4) ⑥。(a,b0)利用不等關(guān)系實(shí)現(xiàn)兩數(shù)和、兩數(shù)的平方和及兩數(shù)積之間的轉(zhuǎn)化；注：涉及兩數(shù)和、兩數(shù)的平方和及兩數(shù)積的問(wèn)題是一個(gè)十分常見(jiàn)的問(wèn)題，利用⑤、⑥兩式可以使其中的關(guān)系一目了然。從解題分析上看，對(duì)解題有很好的導(dǎo)向作用。(5)若a,b∈R+，則+≥⑦(當(dāng)且僅當(dāng)=時(shí)取等號(hào))。 此式在解題中的主要作用表現(xiàn)在：從左向右看是“通分”（不是真正的通分）或“合并”，化多項(xiàng)為一項(xiàng)，項(xiàng)數(shù)多了總不是好事；從右向左看，是“分解”或“拆項(xiàng)”，實(shí)現(xiàn)“一分為二”的變形策略。這在解不等式相關(guān)問(wèn)題中就很有作為！請(qǐng)看下例：例：已知1a1,1b1,求證：+≥.分析：由上不等式，立即得到 +≥≥=。⑦式還可推廣到三個(gè)或更多字母的情形，即++≥(a,b,c0)。 ++…+≥(a1,a2,…,an0)(6) ax+by≤.(柯西不等式)此不等式將和(差)式與平方和式之間實(shí)現(xiàn)了溝通,:例: 使關(guān)于x的不等式+≥k有解的實(shí)數(shù)k的取值范圍是【 】A B C + D 分析:所求k的范圍可以轉(zhuǎn)化為求不等式左邊的最大值即可,由柯西不等式得 +≤==.∴k≤,∴.五、不等式中解題方法的類比應(yīng)用三種基本方法：比較法、分析法、綜合法。其中比較法可分為作差比較法和作商比較法，不僅在不等式的證明和大小比較中有廣泛的應(yīng)用，同時(shí)在其他方面也有很大的作用。如分析法就是一種重要的思維方法，在數(shù)學(xué)的其他章節(jié)中也有廣泛的應(yīng)用。放縮法：是不等式證明中一種十分常用的方法，它所涉及的理論簡(jiǎn)單，思維簡(jiǎn)單，應(yīng)用靈活，因而在解題時(shí)有著十分重要的應(yīng)用。如果能靈活應(yīng)用放縮法，就可以達(dá)到以簡(jiǎn)馭繁的效果。活題巧解例1若1,則下列結(jié)論中不正確的是【 】 A logablogba B | logab+logba |2 C (logba)21 D |logab|+|logba||logab+logba|【巧解】特例法、排除法由已知，可令a=，b=，則logab=log231,0logba=log321,于是A、B、C均正確，而D兩邊相等，故選D。[答案] D。例2 不等式組的解集為【 】 (A) (0,)； (B) (,2)； (C) (,4)； (D) (2,4)。【巧解】 排除法令x=3,符合，舍A、B；令x=2,合題，舍D，選C。[答案] C。例3 已知y=f(x)是定義在R上的單調(diào)函數(shù)，實(shí)數(shù)x1≠x2，λ≠1α=,β=，若|f(x1)f(x2)||f(α)f(β)|，則【 】 A．λ0 B．λ=0 C. 0λ1 D．λ≥1【巧解】 等價(jià)轉(zhuǎn)化法顯然λ≠0,β==, ∴ α、β分別是以x1,，分點(diǎn)應(yīng)在線段兩端的延長(zhǎng)線上，所以λ0,故選A。【答案】A。例4 0a1，下列不等式一定成立的是【 】.（A）|log(1+a)(1a) |+| log(1a)(1+a)|2 （B）| log(1+a)(1a)|| log(1a)(1+a) |（C）| log(1+a)(1a)+log(1a)(1+a)|| log(1+a)(1a)|+|log(1a)(1+a)|（D）| log(1+a)(1a)log(1a)(1+a)|| log(1+a)(1a)||log(1a)(1+a)|【巧解】換元法、綜合法由于四個(gè)選項(xiàng)中只涉及兩個(gè)式子log(1+a)(1a) 和log(1a)(1+a)，為了簡(jiǎn)化運(yùn)算看清問(wèn)題的本質(zhì)，不妨設(shè)x= log(1+a)(1a),y= log(1a)(1+a),由0a1知，x0,y0且x≠y,于是四個(gè)選項(xiàng)便為：A |x|+|y|2 B |x||y| C |x+y| |x|+|y| D |xy| |x||y|這樣選A就是極自然的事了。ab1Oyx ()x()x[答案] A。例5已知實(shí)數(shù) a，b滿足等式()a=()b，下列五個(gè)關(guān)系式：①0ba；②ab0；③0ab；④ba0；⑤a=【 】.（A）1個(gè) （B）2個(gè) （C）3個(gè) （D）4個(gè)【巧解】數(shù)形結(jié)合法在同一坐標(biāo)系內(nèi)同時(shí)畫出兩個(gè)函數(shù)圖象：y1=()x,y2=()x,(如圖)作直線y=m(m0圖中平行于x軸的三條虛線),由圖象可以看到：當(dāng)0m1時(shí),0ba。當(dāng)m=1時(shí),a=b。當(dāng)m1時(shí),ab，選B。[答案] B。例6 如果數(shù)列｛an｝是各項(xiàng)都大于0的等差數(shù)列，且公差d≠0，則【 】.（A）a1+a8a4+a5 （B）a1+a8=a4+a5 （C）a1+a8a4+a5 （D）a1a8=a4a5【巧解】特例法、排除法取an=n,則a1=1, a4=4, a5=5, a8=8,∴a1 +a8=a4+a5,故選B。1