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[理學]量子力學(編輯修改稿)

2026-02-15 15:19 本頁面

　

【文章內容簡介】 a?a??????? ?a做下標代換，有 ),( ?? ?? ?a（假設本征值是分立的） 23 。， 1||)( 2 ?? ????? a??????? a而由展開式可得 A? 表示在任意態下測量得到的幾率。 ?2||?a ?A如體系的 Hamilton不顯含時間 t，即 0???tH則 H為守恒量。在此情況下，若 CSCO 中包含 H，則完全集中的各力學量都是守恒量，這種完全集稱為對易守恒量完全集，簡記為 CSCCO。問題： 24 守恒量完全集的共同本征態中，能量是否取確定值？此本征態肯定是定態，因此各力學量的取值幾率都是不隨時間改變的。而且所相應的量子數都稱為好量子數。下面給出幾個求力學量完全集的例子。 25 交完備函數組。它們構成體系的一組正數為學量完全集。其本征函本身就構成力一維諧振子的例),2,1,0(nH a m i l t o n i a1??nn???nnna ??的幾率。態下，測得振子能量為代表在而 nn Ea ?2||即態均可用它們來展開，一維諧振子的任何一個﹟ 26 本征態為一維運動粒子，動量的例 2力學量完全集。因此，動量就構成一個可用平面波展開，即積函數均展開定理，任何平方可按照 F o u r i e rpxip ex?~)(???pxieppx ??)()2(1)(2/1 ??? d﹟ 27 例 3 三維自由粒子，，動量為守恒量，的三個分量構成一組 CSCO，并且為一組 CSCCO。它們的共同本征函數為 ??? /?? ~)( rpip er ??,2/?? 2 mpH ?p?p? ),( zyx ppp0]?,?[ ?Hp體系的任意波函數都可以展開為 )(r??? ?? zyxrpi pppepr ddd???? /?2/3 )?()2(1)( ???當然，坐標也構成一組 CSCO, 但不是 CSCCO。 ),( zyxr?28 )(2)(2?? 222 rVmrVmpH ?????? ?例 4 三維中心力場中的粒子 )(rV0]?,?[ ?Hl可以證明，，角動量是守恒量。故可將選為一組 CSCCO。 )?,?,?( 2 zllH尋找一組 CSCCO。 0]?,?[ 2 ?zll已知但 0]?,?[,0]?,?[ 2 ?? HlHl z試分析能否構成 CSCO ),(),??,?( , zyxppp zyx能否構成 CSCCO？ ﹟ 29 關于對易力學量完全集 (CSCO)的其它說明： (1)CSCO是限于最小集合，即從集合中抽出任何一個可觀測量后，不再構成 CSCO。即要求 CSCO中各觀測量是函數獨立的。 (2)一個給定體系的 CSCO中，可觀測量的數目一般等于體系自由度的數目，但也可以大于體系自由度的數目。如平面轉子中 )?,?( zlH一維自由粒子中 )?,?( xpH30 (3)一個給定體系往往可以找到多個 CSCO，或 CSCCO。在處理具體問題時，應視其側重點來進行選擇。比如對易算符組中，可以選擇四個 CSCCO: )?,?,?,?( zyx pppH)?,?,?( yx ppH )?,?,?( zy ppH )?,?,?( zx ppH主要靠所研究體系的對稱性如何（即哈密頓的構成方式），以方便求解。在第六章將涉及這個問題。 )?,?,?( zyx ppp31 (4)關于本征態的完備性定理：設為體系的一個厄米算符，對于體系的任一態有下界，但無上界，則的本征態的集合構成體系的態空間中的一個完備集，即體系的任何一個量子態都可以用這組本征態完全集來展開。 H?),/()?,(, ????? HH?這里有兩點需要注意： 32 1）物理體系的哈密頓算符都是厄米算符，能量必然有下界。因此體系的任一量子態可以放心地用 CSCCO 的共同本征態完全集來展開。 2）在的本征值有簡并的情況下，對于給定能量本征值，本征態尚未完全確定，此時需要用一個 C

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