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根據遞推公式求數列通項公式的常用方法總結歸納(編輯修改稿)

2025-11-24 20:27 本頁面

　

【文章內容簡介】（ 2）當 n 為奇數時：分析到這里發現21?na “落單”了，似乎遇到了阻礙，此時鼓勵學生不能放棄，在老師的適當引導下，不難發現，21?na的角標與角標的關系從而得到，無論 n 取奇數還是偶數，總結：（ 1）類比高斯算法將首尾分組進行“配對”，發現需要對 n 取奇偶進行討論，思路自然，容易掌握。（ 2）不少資料對 n 取奇數時的處理辦法是，當討論進行不下去時轉向尋求其它解決辦法，進而引出倒序相加求和法。 naa?1nnnn aaaaS ?????? ? ?? 1221)(2 1 nn aanS ???nnnnn aaaaaS ??????? ????? ?? 12 12 112 11)( 1 naa ?2 11)(2 1 ????? nnn aaanS2)(21 2 12 11?? ????? nnnaaaan)(2 1 naan ??)(2 1 nn aanS ?? 方法二：對 n 的奇偶進行討論有點麻煩，能否回避對 n 的討論呢？接下來給出實際問題：伐木工人是如何快速計算堆放在木場的木頭根數呢？由此引入倒序相加求和法。兩式相加得：總結：（ 1）數學學習需要最優化的學習，因此引導學生去尋求更有效的解決辦法，讓學生在解決問題的同時也體會到同一個問題有不同的解決辦法，而我們需要的是具備高效率的方法。（ 2）倒序相加求和法是重要的數學思想，方法比公式本身更為重要，為以后數列求和的學習做好了鋪墊。（ 3）在過程中體會數學的對稱美。三、一般的遞推數列通項公式的常用方法一、公式法例已知無窮數列 ??na 的前 n 項和為 nS ，并且 *1( )nna S n N? ? ?，求 ??na 的通項公式？【解析】： 1nnSa?? ， ? 1 1 1n n n n na S S a a? ? ?? ? ? ?， ? 1 12nnaa? ?，又1 12a?， ? 12nna ???????. 反思：利用相關數列 ??na 與 ??nS 的關系： 11aS? , 1n n na S S ??? ( 2)n? 與提設條件，建立遞推關系，是本題求解的關鍵 . 二、歸納猜想法：由數列前幾項用不完全歸納猜測出數列的通項公式，再利用數學歸納法證明其正確性，這種方法叫歸納法 . 例已知數列 ??na 中， 1 1a? ， 12 1( 2)nna a n?? ? ?，求數列 ??na 的通項公式 . nnn aaaaS ????? ? 121 ?121 aaaaS nnn ????? ? ?)(2 1 nn aanS ??)(2 1 nn aanS ??? 【解析】： 1 1a? ， 12 1( 2)nna a n?? ? ?， ? 2121aa??3? ， 3221aa??7? ???? 猜測 21nna ?? *()nN? ，再用數學歸納法證明 .（略）反思：用歸納法求遞推數列，首先要熟悉一般數列的通項公式，再就是一定要用數學歸納法證明其正確性 . 三、累加法：利用 1 2 1 1( ) ( )n n na a a a a a ?? ? ? ? ??? ?求通項公式的方法稱為累加法。累加法是求型如 1 ()nna a f n? ?? 的遞推數列通項公式的基本方法（ ()fn可求前 n 項和） . 例 3 、已知無窮數列 ??na 的的通項公式是 12nna ???????，若數列 ??nb 滿足 1 1b? ，1 12nnnbb? ????????( 1)n?，求數列 ??nb 的通項公式 . 【解析】： 1 1b? ,1 12nnnbb? ????????( 1)n?,? 1 2 1 1( ) ( )n n nb b b b b b ?? ? ? ? ??? ?=1+12 +...+ 112n???????= 1122n????????. 反思 :用累加法求通項公式的關鍵是將遞推公式變形為 1 ()nna a f n? ?? 。四、累乘法 :利用恒等式 321 1 2 1 ( 0 , 2)nnnnaaaa a a na a a ?? ??? ? ?求通項公式的方法稱為累乘法 ,

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