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高中數學知識點總結選修2-(編輯修改稿)

2025-11-26 06:55 本頁面

　

【文章內容簡介】歸納推理由某類事物的部分對象具有某些特征，推出該類事物的全部對象都具有這些特征的推理，或者由個別事實概括出一般結論的推理，稱為歸納推理 (由部分到整體、由個別到一般的推理 )。（抽樣調查是一種歸納）類比 (analogy) 由兩類對象具有某些類似特征和其中一類對象的某些已知特征，推出另一類對象也具有這些特征的推理稱為類比推理（由特殊到特殊的推理）。類比直角三角形的勾股定理，在直三棱錐（三條棱兩兩垂直的棱錐）中，有：直三棱錐中三個側面的面積的平方和等于底面面積的平方，即 S底2 = S12 + S22 +S32 Quotations “類比是一個偉大的引路人，求解立體幾何問題往往有賴于平面幾何中的類比問題。” —— 波利亞 (Polya) “合情推理是冒險的、有爭議的和暫時的。” —— 波利亞 “我珍視類比勝過任何別的東西，它是我最可信賴的老師，它能揭示自然界的秘密。” —— 開普勒 (Kepler， 1571— 1630) “即使在數學里，發現真理的主要工具也是歸納和類比” —— 拉普拉斯 (Laplace，17491827) 從具體問題出發觀察、分析、比較、聯想歸納、類比提出猜想演繹推理從一般性的原理出發，推出某個特殊情況下的結論，這種推理稱為演繹推理(demonstrative reasoning)。演繹推理是由一般到特殊的推理。演繹推理具有證明結論，整理和構建知識體系的作用，是公理體系中的基本推理方法。 “ 三段論 ” （ Syllogism）（由亞里士多德創立，他還提出用演繹推理來建立各門學科體系的思想）是演繹推理的一般模式，包括： (1) 大前提 —— 已知的一般原理；（如果大前提是顯然的，則可以省略） (2) 小前提 —— 所研究的特殊情況； (3) 結論 —— 根據一般原理，對特殊情況做出的判斷。在演繹推理中，只要前提和推理形式是正確的，結論必定是正確的。公理化方法：盡可能少地選取原始概念和一組不加證明的原始命題 (公理、共設 )，以此為出發點，應用演繹推理，推出盡可能多的結論。 *直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半。類比三角形的余弦定理，可得四面體的余弦定理： SΔBCD = SΔVBC cosα1 +SΔVCD cosα2 +SΔVBD cosα3 SΔBCD2 = SΔVBC2 + SΔVBD2 + SΔVCD2 ? 2SΔVBCSΔVBD cosβ1 ? 2SΔVBCSΔVCD cosβ2 ? 2SΔVBDSΔVCD cosβ3 直接證明與間接證明綜合法和分析法（直接證明中最基本的兩種方法）一般地，利用已知條件和某些數學定義、公理、定理等，經過一系列的推理論證，最后推導出所要證明的結論成立，這種證明方法叫做綜合法 (synthetical method)，又叫順推證法或由因導果法。用 P 表示已知條件、已有的定義、公理、定理等， Q 表示所要證明的結論，則綜合法可表示為： *解決數學問題時，往往要先把文字語言轉換成符號語言，或把符號語言轉換成P?Q1 Q1?Q2 Q2?Q3 ?? Qn?Q 圖形語言等，還要通過細致的分析，把其中的隱含條件明確表示出來。一般地，從要證明的結論出發，逐步尋求使它成立的充分條件，直至最后，把

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