[工學]控制工程基礎-第三章徐(編輯修改稿)

　

【文章內(nèi)容簡介】 點有正實部。 2）當 ξ0時：不管系統(tǒng)是欠阻尼還是過阻尼，系統(tǒng)的極點都有負實部。 3）當 ξ=0時：系統(tǒng)的極點是純虛的，實部為零。 思考和疑問：能否將上面的總結作為判斷系統(tǒng)穩(wěn)定性的結論？ 2022年 3月 13日 1時 2分 北京科技大學信息工程學院自動化系 56 二階系統(tǒng)的時域分析 0? ?2022年 3月 13日 1時 2分 北京科技大學信息工程學院自動化系 57 22sin( ) 0110 , 0 , ( 0 , 1 , 2 , )1nrnrwtdrwtdrewte w t n n????????? ? ?? ? ? ??? ? ? ? ? ? ? ??2( ) 1 , 1 s in ( ) 11nrwtr d reh t w t? ???? ? ? ? ??則 二階系統(tǒng)的時域分析 3）二階系統(tǒng)（欠阻尼）動態(tài)性能分析。 上升時間 tr： 由定義知： tr為輸出響應第一次到達穩(wěn)態(tài)值所需時間，所以應取 n=1。 21 ???????????ndr wwt當 wn一定時， ξ 越小， tr越小 當 ξ 一定時， wn越大， tr越小 2022年 3月 13日 1時 2分 北京科技大學信息工程學院自動化系 58 二階系統(tǒng)的時域分析 峰值時間 tp 21( ) 1 s i n ( ) ( 0 )1n t dy t e t t?? ????? ? ? ??根據(jù)定義，在峰值點上，有： 2() ( s in ) 01npptndpttd y t tedt??????????s i n 0dpt? ?即： 第一次達到峰值： dpt???21pd nt ??? ?????得： 2022年 3月 13日 1時 2分 北京科技大學信息工程學院自動化系 59 超調量 σ% 二階系統(tǒng)的時域分析 ( ) ( )% 1 0 0 %()ppy t yy??????2( ) 1 ( c o s s i n )1n tddh t e t t?? ????? ? ??% ) 10 0%ndp e???? ?? ? ???? ? ?2(c os + si n121% 10 0%p e? ???????根據(jù)定義： ) 1 0 0 %np t de ?? ?????? ? ?d p p2( c o s t + s i n t121pd n??? ?????將 t 代 入 ， 有 ：2022年 3月 13日 1時 2分 北京科技大學信息工程學院自動化系 60 σ %與 ξ 的關系曲線 ξ 增大， σ %減小，通常為了獲得良好的平穩(wěn)性和快速性，阻尼比 ξ 取在 ,相應的超調量 25%%。 所以超調量是阻尼比 ξ的函數(shù)，與無阻尼振蕩頻率 wn的大小無關。 二階系統(tǒng)的時域分析 2022年 3月 13日 1時 2分 北京科技大學信息工程學院自動化系 61 2s in ( )1nwtdewt???? ? ?? ? ? ?? 二階系統(tǒng)的時域分析 調節(jié)時間 ts 根據(jù)定義： ( ) ( ) ( ) , ( )sy t y y t t? ? ? ? ? ?21( ) 1 s i n ( ) ,1n tdy t e t?? ????? ? ??將 ： 代 入 有 ：22121s in ( 1 )1nwtnew t tg? ????? ? ?? ?? ? ? ? ? ??21211( ) 1dntgy???? ? ????????2022年 3月 13日 1時 2分 北京科技大學信息工程學院自動化系 62 二階系統(tǒng)的時域分析 上式中： 221 1s in ( 1 )n t tg????? ???221 1s in ( 1 ) 1n t tg????? ?? ? ?211n te ?????為振蕩項 為衰減項 而且 可以看出，只要 211n te ???? ???22121s in ( 1 )1nwtnew t tg? ????? ? ?? ?? ? ? ? ? ??一定有 2022年 3月 13日 1時 2分 北京科技大學信息工程學院自動化系 63 211n te ?????顯然 是下式的包絡線，如圖所示 二階系統(tǒng)的時域分析 t()yt22121s in ( 1 )1nwtnew t tg? ????? ? ?? ?? ? ? ? ? ??2022年 3月 13日 1時 2分 北京科技大學信息工程學院自動化系 64 二階系統(tǒng)的時域分析 因此：求過渡過程時間（或調節(jié)時間），一般是按照其包絡線進入小的穩(wěn)態(tài)區(qū)域，來計算的！ 即： 21nwtse tt??? ? ?? ? ??22l n 111ln1s nnt ?? ? ? ??? ? ?????214 l n1 4 snnt ?? ? ? ???? ? ? ?213 l n1 3 snnt ?? ? ? ???? ? ? ?兩邊取對數(shù)有： 2022年 3月 13日 1時 2分 北京科技大學信息工程學院自動化系 65 調節(jié)時間不連續(xù)的示意圖 ξ 值的微小變化可引起調節(jié)時間 ts顯著的變化。 二階系統(tǒng)的時域分析 2022年 3月 13日 1時 2分 北京科技大學信息工程學院自動化系 66 二階系統(tǒng)的時域分析 為了使用上的方便，人們作出了 wnts與 ξ的關系曲線，如下圖所示： 在設計系統(tǒng)時 , ξ通常由要求的最大超調量決定 ,而調節(jié)時間ts則由無阻尼振蕩頻率wn來決定。 2022年 3月 13日 1時 2分 北京科技大學信息工程學院自動化系 67 二階系統(tǒng)的時域分析 當 ξ=（ 5%誤差帶）或 ξ=（ 2%誤帶），調節(jié)時間 ts最短。所以通常的控制系統(tǒng)都設計成欠阻尼的。 曲線的不連續(xù)性，是由于 ξ值的微小變化可引起調節(jié)時間顯著變化而造成的。 近似計算時，常用阻尼正弦振蕩的包絡線衰減到誤差帶之內(nèi)所需時間來確定 ts。 2022年 3月 13日 1時 2分 北京科技大學信息工程學院自動化系 68 2122,???????ndddswwTTtN 二階系統(tǒng)的時域分析 振蕩次數(shù) N N的定義 :在調節(jié)時間內(nèi) ,響應曲線穿越其穩(wěn)態(tài)值次數(shù)的一半。 Td為阻尼振蕩的周期 2210 .0 2N ????? ? ?21 . 5 10 . 0 5N ????? ? ?2022年 3月 13日 1時 2分 北京科技大學信息工程學院自動化系 69 二階系統(tǒng)的時域分析 ? 如果已知 21p e? ??????2ln1p???????1 . 5 0 . 0 5ln pN ??? ? ? 20 . 0 2lnpN ??? ? ?p?可見： 是一一對應的。 是系統(tǒng)動態(tài)性能的不同描述方式 pN ?和可得： 則： 因為： 2022年 3月 13日 1時 2分 北京科技大學信息工程學院自動化系 70 )(5)(?? ssKsG A 二階系統(tǒng)的時域分析 設系統(tǒng)的輸入量為單位階躍函數(shù) ,試計算放大器增益 KA=200時 ,系統(tǒng)輸出響應的動態(tài)性能指標。當KA增大到 1500時或減小到 KA =,這時系統(tǒng)的動態(tài)性能指標如何 ? 已知單位反饋系統(tǒng)的 （開環(huán)） 傳遞函數(shù)為： 例 解 系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為 : AAKssKsGsGs5)(1)()(2 ??????2022年 3月 13日 1時 2分 北京科技大學信息工程學院自動化系 71 2210002 0 0 , ( ) 1 0 0 0 , 2 3 4 . 53 4 . 5 1 0 0 03 4 . 53 1 . 6 ( / ) , 0 . 5 4 52A n nnnK s w wssww???? ? ? ? ? ???? ? ? ?弧 度 秒 二階系統(tǒng)的時域分析 則根據(jù)欠阻尼二階系統(tǒng)動態(tài)性能指標的計算公式 ,可以求得 : 222/120. 12 ( )1l n 0 .0 5 10. 18 3 ( )% 10 0% 13 %10. 72 1 ( )2 2pnsnsnsdtwtwetwtNw? ? ???????? ???????????? ? ??? ? ? ?秒秒次2022年 3月 13日 1時 2分 北京科技大學信息工程學院自動化系 72 系統(tǒng)工作在過阻尼狀態(tài) ,峰值時間 ,超調量和振蕩次數(shù)不存在 ,而調節(jié)時間可將二階系統(tǒng)近似為大時間常數(shù) T的一階系統(tǒng)來估計 : 1 5 0 0 , 8 6 . 2 ( / ) 。 0 . 20 . 0 3 7 ( ) , 0 . 1 7 4 ( ) , % 5 2 . 7 % , 2 . 3 4 ( )AnpsKwt t N??? ? ?? ? ? ? ?時 弧 度 秒秒 秒 次13 .5 , 8. 22 ( / ) , 2. 1AnKw ?? ? ?時 弧 度 秒13 1. 46 ( ) ,stT?? 秒 二階系統(tǒng)的時域分析 由此可見 ,KA越大 , ξ越小 , Wn越大 , tp越小 ,б%越大 ,而調節(jié)時間 ts無多大變化。 22121211( 1 ) , ( 1 )nns w s wTT ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?此時兩個極點為： 2022年 3月 13日 1時 2分 北京科技大學信息工程學院自動化系 73 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18)1 500( ??AK?)2 00(5 ??AK?)( ??AK?twn)( tc?即比例調節(jié)，難以兼顧系統(tǒng)的快速性和平穩(wěn)性 為了改善系統(tǒng)的動態(tài)性能，可采用比例－微分控制或速度反饋控制，即對系統(tǒng)加入校正環(huán)節(jié) 調節(jié)時間比前兩種 KA大得多 ,雖然響應無超調 ,但過渡過程緩慢 ,曲線如下： 二階系統(tǒng)的時域分析 KA增大， tp減小，ts減小，可以提高響應的快速性，但超調量也隨之增加，僅靠調節(jié)放大器的增益， 2022年 3月 13日 1時 2分 北京科技大學信息工程學院自動化系 74 上次課小結 一、典型二階系統(tǒng)單位階躍響應 表達式 222() 2nbnnGs s ?? ? ?? ??122,1 ???? ???? nns閉環(huán)極點 取值與極點位置 ?0? ?10??? 1?? 1??0? ?共軛復數(shù)根 重根 兩個不同實根 共軛虛根 S左半平面 振蕩衰減 單調 等幅振蕩 臨界 2022年 3月 13日 1時 2分 北京科技大學信息工程學院自動化系 75 上次課小結 0? ?10?? ? ?1? ??1? ??S右半平面 共軛復數(shù)根 重根 兩個不同實根 振蕩發(fā)散 單調發(fā)散 臨界 ??j21 ?? ?nj21 ?? ??njn?n?? ?重要曲線 2022年 3月 13日 1時 2分 北京科技大學信息工程學院自動化系 76 上次課小結 二：性能指標計算（欠阻尼） 上升時間 tr： 21r dnt w w? ? ? ?????? ?峰值時間 tp 21p dnt ????????超調量 σ% 21% 10 0%p e? ???????調節(jié)時間 ts 2l n 1snt ???? ? ??214 l