[理學(xué)]第三章_解線性方程組的直接方法(編輯修改稿)

　

【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 元，這種選主元的方法似乎是合理的。經(jīng)過這樣修改的 列主元消去法稱為 按比例列主元消去法 。 ?????????????????????????????????????????14108 3 1038134108101 2 10109101644321444444xxx4 10.8 1 23 08 1 25 0201038101091016 4444??????????????? 第三章 167。 1 P52 更具體地說， Gauss按比例列抗消去法在消元過程第一步之前，對(duì) i=1,2,… ,n 計(jì)算方程組的系數(shù)矩陣的第 i行的大小 在第 k步，求最小的 使 以第 r行作為主行，然后交換增廣矩陣的第 k行與第 r行。 算法 應(yīng)用 Gauss按比例列主元消去法解 n階線性方程組 Ax＝ b，其 中 輸入 方程組的階數(shù) n ；增廣矩陣［ A， b］。 輸出 方程組的解 或系數(shù)矩陣奇異的信息。 step 1 對(duì) i=1,2,… ,n 若 ，則輸出（ ‘ A is singular’ ）；停機(jī)。 step 2 對(duì) k＝ 1， 2， … ， n— 1 做 step 37。 step 3 選主元 :求 r,使 , krr ?.m a x1 ijnji as ???., niksasaiikrrk ???? ? ? ? .,..., 1,1,1 Tnnnnnij aabaA ??? ??nxx ,...,1.m ax1 ijnji as ???0?is。m a xiiknikrrksasa??? 第三章 167。 1 P52 下 step 4 若 ，則輸出（ ‘ A is singular’）；停機(jī)。 step 5 若 , 則 step 6 對(duì) j=k,…,n+1 (交換增廣矩陣的第 k行與第 r行 )。 step 7 對(duì) i=k+1,…,n 做 step 89 . step 8 step 9 對(duì) j=k+1,…,n+1 step 10 step 11 對(duì) k=n1,…,1 。ksqkr ??.ta rj ?0?rka./ kkikikik aala ??.kjikijij aaaa ??./1, nnnnn aax ??。rk ss ?.qsr ?。kjat ?。rjkj aa ?./)(11, kknkjjkjnkk axaax ???? ?? 第三章 167。 1 P53 step 12 輸出 ； 停機(jī)。 例 3 應(yīng)用 Gauss按比例列主元消去法解方程組 開始，我們計(jì)算得 由于 因此 ,第二行為主行 ,即 為第一步消元的主元 .交換 與 得 ， 。交換增廣矩陣 [A,b]的第 2行與第 1行，即 ),...,( 21 nxxx,51,43,21.10,4,2.10334102043121331221111321321?????????????????????????????????????sasasasssxxx321?a 4121 ?sss22 ?s? ? .1041023121304310410230433121,21???????????? ????????????? ? rrbA 第三章 167。 1 P53 下 計(jì)算乘子 進(jìn)行第一步消元后，增廣矩陣化為 第二步，我們計(jì)算得 因而，第三行為主行， 為主元。交換 與 得 交換 增廣矩陣的第 3行與第 2行（此例中把 和 也交換），即 .151110322,3123284322322132313043332222????????????????????sasa.32,311131313111212121??????aalaaala322.2,10 3232 ?? ssss3121 ll 第三章 167。 1 P54 計(jì)算乘子 經(jīng)第二步消元后，增廣矩陣化為 最后，由回代過程計(jì)算得 ,21171114.11141171113184322323043.111.213231843223230438432232213231304332232323232??????????????????????????????????????? ???????????????????xaalarr 第三章 167。 1 P54 下 算法 中， 若不進(jìn)行增廣矩陣的行交換，則可引進(jìn)一個(gè)向量 來記錄行交換。 的分量最初為 即 。若在消元過程的第 k步需要交換增廣矩陣的第 k行與第 r 行 ,則交換 的第 k與第 r個(gè)分量 .消元過程結(jié)束時(shí) ,向量 便給出消元過程中 一組主行的指示。這樣，最后的 指示原始增廣矩陣在第一步被選為主行的 行， 指示第二步被選為主行的行，等等。在消元過程中，對(duì)增廣矩陣進(jìn)行 行交換的目的是把系數(shù)矩陣化為一個(gè)上三角陣。由此可知，最后一個(gè)方程僅 含 ，倒數(shù)第一個(gè)方程含 和 等等。但是 的最后元素也給出這種 信息：第 個(gè)方程僅含 ，第 個(gè)方程含 和 ，等等。由于在消 元過程中我們保存了元素 ，因此可在消元結(jié)束后對(duì)方程組的右端向量 進(jìn) 行變換。這樣，我們來修改算法 。 .1320223,032224812??????????xx? ?Tnppp , . . . , 21?p,...,2,1, niipp i ??? ?Tnp , . . . ,2,1?1p2pnx nxnx1?nxnxpp pnp 1?np 1?nxijl b 第三章 167。 1 P54~P55 算法 應(yīng)用 Gauss按比例列主元消去法 (不作矩陣行交換 )解 n 階線 性方程組 其中 輸入 方程組的階數(shù) n；系數(shù)矩陣 A；右端向量 b。 輸出 方程組的解 或系數(shù)矩陣奇異的信息。 step 1 對(duì) i=1,2,… ,n 若 ，則輸出（ ‘ A is singular’ ）；停機(jī)； step 2 對(duì) k＝ 1， 2， … ， n— 1 做 step 36。 step 3 選主元 :求 r,使 step 4 若 ，則輸出（ ‘ A is singular’）；停機(jī)。 step 5 若 , 則 ? ? ? ? .,..., 21 Tnnnij bbbbaAbAx ??? ?nxxx ,..., 21。m a x1 ijnji as ???.m a x ,iirrpkpnikpkpsasa???0?is。ipi ?0, ?kpra。kpt e m prk ??。rk pp ?.tempp r ? 第三章 167。 1 P55 step 6 對(duì) i=k+1 ,…, n 做 step 78 。 step 7 對(duì) i=k+1 ,…, n 做 step 89 。 step 8 對(duì) j=k+1 ,…, n step 9 step 10 對(duì) i=2， 3， … ， n step 11 step 12 對(duì) i=n1， n2， … ， 1 step 13 輸出 ； 停機(jī)。 例 4 我們應(yīng)用 算法 解 例 3 的方程組 ./)~( ,1, ipnijjjppi iii axabx ?????., jpkpjpjp kiii aaaa ??.~ 11 pp bb ?.~~11,?????ijpjppp jiii babb./~ , nppn nn abx ?),...,( 21 nxxx.10334102043121321???????????????????????????????xxx 第三章 167。 1 P55~P56 開始，向量 。計(jì)算得 由于 因此 是第一步消元的主行。我們把 修改為 ，并且計(jì) 算的乘子 經(jīng)第一步消元后，把系數(shù)矩陣修改為 第二步，計(jì)算得 ? ?,51,43,21.10,4,23,2,1332211 1,1,1,321???????ppppppTsasasasssp22 ?p ? ?Tpp 3,1,2?,31/ 1,1,1,11 122 ??? ppp aaaa.4322320431173231,32/1,1,1,31133?????????????????