[高等教育]線性代數(shù)第二章矩陣(編輯修改稿)

　

【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 ?? ??????nkjkik jijiAAa1 0同理可得 性質(zhì) .EAAAAA ?? ??證明 .EAAAAA ?? ??所以 11 21 112 22 212nnn n n nA A AA A AA A A????????11 12 121 22 212nnn n nna a aa a aAAa a a???????????.EA?.A A A E? ?AAA0 0 九、小結(jié) 矩陣運(yùn)算 ?????????數(shù)乘 矩陣與矩陣相乘 轉(zhuǎn)置矩陣 伴隨矩陣 方陣的行列式 共軛矩陣 方陣的冪 線性運(yùn)算 AB BA?A M A N? MN??AB O? ..A O o r B O???對(duì)稱矩陣 反對(duì)稱矩陣 .EAAAAA ?? ??加法 乘法運(yùn)算中的１， 11 1,a a a a????在數(shù)的運(yùn)算中，當(dāng)數(shù) α ≠ ０ 時(shí)， 1 1aa? ?則 稱為 的倒數(shù) ， a個(gè)矩陣 ， 1A?在矩陣的運(yùn)算中， 11 ,A A A A E????一、背景 數(shù) 矩陣 則矩陣 Ａ 稱為的 可逆矩陣 ， a（或稱為 的逆 ）； 有 單位陣 Ｅ 相當(dāng)于數(shù)的 那么，對(duì)于矩陣 Ａ ，如果存在 一 有 1A? A稱為 的逆陣 . 例 1111 22,1 1 1 122AB????????? ?????? ?????,A B B A E??,A B B A E??使得 的逆矩陣記作 ?A二、逆矩陣的概念和性質(zhì) 定義 對(duì)于 階方陣 ，如果有一個(gè) 階方陣 ， n A BnA則稱方陣 是 可逆 的， B? A是 的逆矩陣 . B A并把方陣 稱為 的 逆矩陣 . 若設(shè) 和 是 逆矩陣， B C A 則有 ,A B B A E A C C A E? ? ? ?B所以 的逆矩陣是唯一的 ,即 A 1 .B C A ???說(shuō)明 若 是可逆矩陣，則 的逆矩陣是 唯一 的 . A A證明 于是 例 1 2110A????????設(shè) ,求 的逆矩陣 . A解 abBcd???????設(shè) 則 AB BA E? ? ?2110abcd? ? ? ?? ? ? ??? ? ? ?B ???? ????0 1?1 2()CA B? ()C AB? CE? C?EB?22a c b dab???????????1001???????證明 ??1 .A A E? ?，使得 1 1,A A E?? ? ?兩邊求行列式，有 定理 1 若矩陣 可逆，則 ?A1A?A若矩陣 可逆，則 即有 定理 2 矩陣 可逆的充要條件是 ， 且 A 0A ?1 1 ,AAA??? AA?其中 為矩陣 的伴隨矩陣 . 證明 因?yàn)榫仃嚺c其伴隨矩陣有 **A A A A A E??，故有 11A A A A EAA??? ? ? ???? ? ? ?? ? ? ?0A ?又因?yàn)? 所以，按逆矩陣的定義，即有 1 1 .AAA???例 2 。是否可逆，如可逆求判斷方陣 1343122321???????????? AA解 6205203213431223212131)2()3( ????? ???????rrrrA? 02 ??可逆A?254266232333231232221131211?????????????AAAAAAAAA又????????????????222563462A即????????????????? ??2225634622111AAA當(dāng) 時(shí)， 稱為 奇異矩陣 ； 0A ? A證明 推論 AB E?若 1BA??BA E?或 ，則 B? ??0A ?當(dāng) 時(shí)， 稱為 非 奇異矩陣 . A奇異矩陣與非奇異矩陣 1A B E? ? ?易知 1A? ??0A ??于是 EB? 1()A A B? 1 ()A A B?? 1AE??AB E?只證 時(shí)， 運(yùn)算規(guī)律 （設(shè) 均是 階可逆方陣） AB n1A? ? ? ? 11 ,A ?? ??1）若 ? ? 11 .AA?? ?且 ? ? ? ? ? ?1 1 1 1 1 1AB B A A BB A AE A AA E? ? ? ? ? ?? ? ? ?證明 ? ? 1 11 .A B B A? ???由推論，即有 ? ? 1 ,A? ? ??1 ,0A ?? ??2）若 ? ? 1 11 .AA? ?? ??且 ? ? 1 ,AB ? ??? ? 1 11 .ABA B ? ???且 11,AB????3）若 ，且 同階， ,AB推廣 ? ? 1 1 1 12211 .nn AA A AAA ? ? ? ??? ? ? ?11TTTA A A A???TEE??? ? ? ?1 1 .TTAA? ???證明 ? ? 1 ,TA ? ??1A? ?4）若 ? ? ? ?1 1 .TTAA? ??且 1A A E? ? 1 1,AA ??? 11 .AA ????11AA ?? ??1A? ?5）若 1 ,A? ?6）若 證明 ? ? 1 ,A ?? ?? ? ? ? ?1 1 .AAA A??????且 證明 ? 1A A A???? ? ?1 AAA?? ?? ? ? ? 11 1 1 AA A A A??? ? ???而 1 1AAA???因?yàn)? ? ? ? ?11 1A A A?????所以 ? ? ? ?1 1 .AAA A????? ? ?為整數(shù)） ,k ??（其中 7）其它的一些公式 1nAA ?? ?A A A A A E????? ? 2nA A A? ?? ?? ? 1 .A A A ???1A A A???? ?A B B A? ???0AE? ? ?1 kkAA???A A A? ? ? ??? ? ?AA?? ? ??8）一些規(guī)定 ? ? 1 1 1nnk A k A A k A? ? ? ? ???四、應(yīng)用 例 3 ? ?1122, , 0innaaaaA B aaa? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ??求下列矩陣的逆，其中 解 1） 1111 21naaAa?????????????依對(duì)角矩陣的性質(zhì)知： 0iAa??? 1???1?in1?in12111naaa?? ? ? ? ??? ? ? ? ?? ? ? ???? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ???依矩陣的逆的定義，必有 111211naBaa?????????????易知： ? ? ? ?1210nn iBa ?? ? ??1B ???解 2） 11B B B B E????11a?12a?1na?????即 1?in? ? ? ? ? ?1 24 4 1 6TE A E A E A?? ? ?計(jì)算 其中 例 4 的行列式 . 1 0 01 2 0 .3 0 2A????? ? ?????解 ? ? ? ? ? ?1 24 4 16TE A E A E A?? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?14 4 4 4TE A E A E A E A?? ? ? ? ?? ? ? ?44 TE A E E A? ? ?E? ? ? ?44 TE A E A? ? ?24 EA??25 0 01 2 03 0 6??26 0 3 6 0 0??例 5 3001 1 0 ,114A?????????求 解 2,A X A X??設(shè) 且滿足 2,A X A X??.X有 ? ?2A E X A??1 0 02 1 1 01 1 2AE????? ? ?????而 2 2 0AE? ? ? ?? ?12AE ?? ? ?? ? 12 0 012 2 2 022 1 1AE?????? ??? ? ? ????? ??????? ? 12,X A E A??? 2 0 0 3 0 012 2 0 1 1 022 1 1 1 1 4?? ? ? ??? ? ? ? ?? ? ??? ? ? ? ??? ? ? ? ???? ? ? ?3 0 02 1 02 1 2???????????1A X B X A B?? ? ? 1X A B X B A ?? ? ? 11A B C X A C B??? ? ?33,A?設(shè) 求 例 6 ? ? 13 2 .AA? ??AA?其中 為矩陣 的伴隨矩陣 . 12A ?解 ? ? 132AA? ??1 1 132A A A? ? ??? 123 A???? ? 1 11AA? ?? ??1B B B??? nBB???3123 A?????????1627??例 7 解矩陣方程 1 4 2 0 3 11 2 1 1 0 1X? ? ? ? ? ??? ? ? ? ? ?? ? ?? ? ? ? ? ?解 111 4 3 1 2 01 2 0 1 1 1X??? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ?? ? ?? ? ? ? ? ?2 4 3 1 1 0112 1 1 0 1 1 2?? ? ? ? ? ??? ? ? ? ? ??? ? ? ? ? ?6 6 1 0112 3 0 1 2? ? ? ??? ? ? ?? ? ? ?11104?????????0,kA ?設(shè) 例 8 證明 ? ? 1 21 .kE A E A A A? ?? ? ? ? ? ?kE A E? ? ?? ? ? ?21 kE A E A A A ?? ? ? ? ?? ? 1 21 .kE A E A A A? ?? ? ? ? ? ? ?證明 例 9 nAEPPP B QA 求且為同階方陣設(shè) , ??)())(( P B QP B QP B QA n ??解nEQPEPQ ??? ,?QPBA nn ??kkk AAAAAAAE ?????????? ?? 1212 ??A所以 可逆 . 0,A??2AEAE??? 12AEA ???1A?2 20A A E? ? ?由 ? ? 2A A E E??，得 例 10 ,2A A E?可逆，并求它們的逆矩陣 . ? ? ? ?2 3 4 0A E A E E? ? ? ? ?? ?1 1 .2A A E?? ? ?2 20A A E? ? ?由 設(shè)方陣 A 滿足方程 ，證明 2 20A A E? ? ?? ? ? ?123 4A E A E E??? ? ? ? ?????? ?12AE ??? ?12 3 14A E A E? ? ? ? ?證明 2AE?所以 可逆 . ? ? 1 32. 4EAAE ? ?? ? ?2 0,AE? ? ?逆矩陣的概念及運(yùn)算性質(zhì) . 逆矩陣的計(jì)算方法 1 AAA?? ?利 用 公 式 ?逆矩陣 存在 1A? ?五、小結(jié) 定義法 初等變換法（后面介紹） ???????????????bbaaA110101000001一、矩陣的分塊 對(duì)于行數(shù)和列數(shù)較高的矩陣，為了簡(jiǎn)化運(yùn)算， 經(jīng)常采用 分塊法 ，使大矩陣的運(yùn)算化成小矩陣的運(yùn) 算 . 具體做法是：將矩陣用若干條縱線和橫線分成 許多個(gè)小矩陣，每一個(gè)小矩陣稱為 子塊 ，以子塊為 元素的形式上的矩陣稱