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函數導數中的恒成立問題解題技巧(編輯修改稿)

2026-04-20 12:16 本頁面

　

【文章內容簡介】 1))處的切線方程為y＝e(x－1)＋2.(1)求a，b；(2)證明：f(x)1.解：(1)函數f(x)的定義域為(0，＋∞)，f′(x)＝aexln x＋ex－ex－1＋ex－1.由題意可得f(1)＝2，f′(1)＝e，故a＝1，b＝2.(2)證明：由(1)知，f(x)＝exln x＋ex－1，從而f(x)1等價于xln xxe－x－.設函數g(x)＝xln x，則g′(x)＝1＋ln x，所以當x∈時，g′(x)0；當x∈時，g′(x)0.故g(x)在上單調遞減，在上單調遞增，從而g(x)在(0，＋∞)上的最小值為＝－.設函數h(x)＝xe－x－，則h′(x)＝e－x(1－x)．所以當x∈(0，1)時，h′(x)0；當x∈(1，＋∞)時，h′(x)0.故h(x)在(0，1)上單調遞增，在(1，＋∞)上單調遞減，從而h(x)在(0，＋∞)上的最大值為h(1)＝－.因為gmin(x)＝＝h(1)＝hmax(x)，所以當x0時，g(x)h(x)，即f(x)1.五、不等式中的恒成立問題例5 (2016?山東)已知.(1)討論的單調性；(2)當時，證明對于任意的恒成立．解：(1)的定義域為，當時，若，則單調遞增，若，則單調遞減．當時，.(i)當時，.當或時，單調遞增．當時，單調遞減．(ii)當時，在區間內，單調遞增．(iii)當時，.當或時，單調遞增，當時，單調遞減．綜上所述，當時，在上單調遞增，在上單調遞減；當時，在上單調遞增，在上單調遞減，在上單調遞增；當時，在上單調遞增；當時，在（0，）上單調遞增，在（，1

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