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微專題圓錐曲線中最值問題(解析版)(編輯修改稿)

2026-04-21 01:53 本頁面

　

【文章內容簡介】小值為。（2）由橢圓的第一定義，設C為橢圓的左焦點，則∴，根據三角形中兩邊之差小于第三邊，當P運動到與B、C成一條直線時，便可取得最大和最小值。當P到P位置時，有最大值，最大值為；當P到位置時，有最小值，最小值為.（數形結合思想、橢圓定義、最值問題的結合）變式:點A（3，2）為定點，點F是拋物線y2=4x的焦點，點P在拋物線y2=4x上移動，若|PA|+|PF|取得最小值，求點P的坐標。解：拋物線y2=4x的準線方程為x=1，設P到準線的距離為d，則|PA|+|PF|=|PA|+d。要使|PA|+|PF|取得最小值，由圖3可知過A點的直線與準線垂直時，|PA|+|PF|取得最小值，把y=2代入y2=4x，得P（1，2）。例2: 已知橢圓的中心在O,右焦點為F，右準線為L，若在L上存在點M，使線段OM的垂直平分線經過點F，求橢圓的離心率e的取值范圍?解：如果注意到形助數的特點，借助平面幾何知識的最值構建使問題簡單化，由于線段OM的垂直平分線經過點F，則利用平面幾何折線段大于或等于直線段（中心到準線之間的距離），則有 2≥≥，∴橢圓的離心率e的取值范圍橢圓的離心率e的取值范圍為變式1: 已知雙曲線的左、右焦點分別為FF2，點P在雙曲線的右支上，且|PF1|=4|PF2|,求此雙曲線的離心率e的最大值?解：雙曲線的離心率e的最大值為變式2: 已知橢圓方程為，（）的左、右焦點分別為FF2，點P在為橢圓上的任意一點，且|PF1|=4|PF2|,求此橢圓的離心率e的最小值?解：橢圓的離心率e的最小值為例3: 已知P點在圓x2+(y2)2=1上移動，Q點在橢圓上移動,試求|PQ|的最大值。解：故先讓Q點在橢圓上固定，顯然當PQ通過圓心O1時|PQ|最大，因此要求|PQ|的最大值，只要求|O1Q|(x，y)，則|O1Q|2= x2+(y4)2 ①因Q在橢圓上,則x2=9(1y2) ② 將②代入①得|O1Q|2= 9(

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