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抽屜原理的典型問題(編輯修改稿)

2026-04-21 02:31 本頁面

　

【文章內容簡介】少有三條線段是同一種顏色，假定是紅色，現在我們再單獨來研究這三條紅色的線。這三條線段的另一端或許是不同顏色，假設這三條線段(虛線)中其中一條是紅色的，那么這條紅色的線段和其他兩條紅色的線段便組成了我們所需要的同色三角形，如果這三條線段都是藍色的，那么這三條線段也組成我們所需要的同色三角形。因而無論怎樣著色，在這六點之間的所有線段中至少能找到一個同色三角形。例3′(六人集會問題)證明在任意6個人的集會上，或者有3個人以前彼此相識，或者有三個人以前彼此不相識。”例3”：17個科學家中每個人與其余16個人通信，他們通信所討論的僅有三個問題，而任兩個科學家之間通信討論的是同一個問題。證明：至少有三個科學家通信時討論的是同一個問題。　解：不妨設A是某科學家，他與其余16位討論僅三個問題，由鴿籠原理知，他至少與其中的6位討論同一問題。設這6位科學家為B，C，D，E，F，G，討論的是甲問題。　　若這6位中有兩位之間也討論甲問題，則結論成立。否則他們6位只討論乙、丙兩問題。這樣又由鴿籠原理知B至少與另三位討論同一問題，不妨設這三位是C，D，E，且討論的是乙問題。　　若C，D，E中有兩人也討論乙問題，則結論也就成立了。否則，他們間只討論丙問題，這樣結論也成立。　　　　例1 從…、30這15個偶數中，任取9個數，證明其中一定有兩個數之和是34。　　分析與解答我們用題目中的15個偶數制造8個抽屜：　　凡是抽屜中有兩個數的，都具有一個共同的特點：這兩個數的和是34。現從題目中的15個偶數中任取9個數，由抽屜原理(因為抽屜只有8個)，這兩個數的和是34。　　例2：從…、120這20個自然數中，至少任選幾個數，就可以保證其中一定包括兩個數，它們的差是12。　　分析與解答在這20個自然數中，差是12的有以下8對：{20，8｝，{19，7｝，{186｝，{17，5｝，{16，4｝，{15，3｝，{14，2｝，{13，1｝。　　另外還有4個不能配對的數{9｝，{10｝，{11｝，{12｝，共制成12個抽屜(每個括號看成一個抽屜).只要有兩個數取自同一個抽屜，那么它們的差就等于12，根據抽屜原理至少任選13個數，即可辦到(取12個數：從12個抽屜中各取一個數(例如取1，2，3，…，12)，那么這12個數中任意兩個數的差必不等于12)。　　例3：從1到20這20個數中，任取11個數，必有兩個數，其中一個數是另一個數的倍數。　　分析與解答根據題目所要求證的問題，應考慮按照同一抽屜中，看成10個抽屜(顯然，它們具有上述性質)：　　{1，2，4，8，16｝，{3，6，12｝，{5，10，20｝，{7，14｝，{9，18｝，{11｝，{13｝，{15｝，{17｝，{19｝。　　從這10個數組的20個數中任取11個數，根據抽屜原理，所以這兩個數中，其中一個數一定是另一個數的倍數。　　例4：某校校慶，來了n位校友，在這n個校友中至少有兩人握手的次數一樣多。　　分析與解答共有n位校友，每個人握手的次數最少是0次，即這個人與其他校友都沒有握過手。最多有n1次，如果有一個校友握手的次數是0次，那么握手次數最多的不能多于n2次。如果有一個校友握手的次數是n1次，、 …、n2，還是后一種狀態…、n1，到會的n個校友每人按照其握手的次數歸入相應的“抽屜”，根據抽屜原理，至少有兩個人屬于同一抽屜，則這兩個人握手的次數一樣多。　　在有些問題中，“抽

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