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抽象代數基礎習題解答(編輯修改稿)

2026-04-21 02:32 本頁面

　

【文章內容簡介】 (*)其中,.顯然,諸兩兩不相交。有且僅有一個,使得。并且.由于,由(*)式可以推得 . (**)對于任意的,考察與:若,則,從而, .由此可得,從而,.這就表明,諸兩兩不相交. 這樣一來,由(**)式可以知,.,證明:,證明:對于任意的,是一個同態.證明將到自身的映射, 是群到群的同構 ,即, , , .假設是交換群,.將到自身的映射,我們有,.所以是一個同態.,是的正規子群,證明:.證明由于是的正規子群,:.由是群到群的滿同態可知是到的滿射.其次,注意到是的正規子群,對于任意的,有.所以是到的滿同態.最后,對于任意的,我們有.,根據群的同態基本定理,.,(此時稱是和的內直積),證明:.證明定義到的映射如下:,.由可知,并且.于是,從而,從而,.這意味著且,是單射,從而,是雙射. 對于任意的,我們有,.由于,是的正規子群且,由167。5習題第3題可知,.因此,從而,.,是群,證明:.證明定義到的映射如下:,.顯然,對于任意的,我們有,.所以是群到群的同構,從而,.,證明:.證明對于任意的和任意的,對于任意的,注意到是不同的素數,我們有.這樣一來,我們可以定義到的映射如下:,.考察映射:,即且,從而,.,顯然 .,對于任意的,我們有,.所以是群到群的同構,從而,.167。7 有限群,是的正規子群,證明:對于任意的都有.證明由于,對于任意的,從而,.,證明:存在到的滿同態的充要條件是.證明 ,.根據Lagrange定理,我們有,從而,.,.于是,是的正規子群,.設是到的同構,.,為素數,.如果,證明:一定有階為的子群.注我們介紹過Sylow定理的如下形式:設是階有限群,其中,是素數,是非負整數,是正整數,對于任意的,: 由知,存在正整數和,使得,.根據Sylow定理,.證明 ,使得,.根據Sylow定理,.為此,對施行第二數學歸納法.當時,顯然結論成立.假設是整數,并且當時,對于任意的正整數,:當時,對于任意的正整數,有階子群.事實上,由可知,對于的每個真子群,(其中為群的中心),存在,.根據歸納假設,對于任意的正整數,存在的子群,使得且,從而,.,為素數,如果的每個元素的階都是的方冪,:是群是的一個冪.證明顯然,當是的一個冪時,是群.,存在素數,使的,其中,.根據Sylow定理,.:階小于或等于5的群都是交換群.證明 ,2階群、3階群和5階群都是循環群,因而都是交換群.,中元素的階只能是,是循環群,中的元素,除單位元外,就是Klein四元群,因而是交換群.,是的有限子群,假設,證明:.證明由于既的子群,又是的子群,根據167。6習題第5題,我們有.第二章環論167。1 環的概念:(5)(7).注 (5)(7)的原文如下:(設是一個環,則)(5)。(6),其中為整數。(7)若是交換環,則,.顯然,(5)中應加進“其中和為中的任意元素,和為任意正整數”。(6)中應加進“和為中的任意元素”。(7)中應加進“其中，和為中的任意元素,為任意正整數,并且約定,”.證明首先,因為乘法對加法適合分配律,所以.這就是說,(5)成立.其次,當時,(1),我們有,從而,.當是正整數時,令,則因乘法對加法適合分配律,我們有 ,從而,.當是負整數時,(2)和剛才證明的結論,我們有,從而,.這就是說,(6)成立.最后, (*),當時,顯然(*))時,(*)式成立. 當時,我們有.所以對于一切正整數,(*)式成立.此外,由于乘法適合結合律和交換律,由第一章的167。1知,.2．令,證明關于實數的加法和乘法構成一個環.證明顯然,是一個交換群。是一個半群(也就是說,乘法適合結合律)。.(驗證過程從略.),定義,.證明:關于這樣定義的和構成一個環.證明簡單的數學分析知識告訴我們,是一個交換群。是一個半群(也就是說,乘法適合結合律)。.,其中,的表格稱為環上的矩陣(或階方陣).,可以定義環上的矩陣的加法和乘法,證明:,如果存在,使得,則稱是可逆的,稱是的一個逆矩陣,證明:若可逆,則其逆是唯一的,記的逆矩陣為.證明完全類似于數域上矩陣,容易驗證上的加法適合結合律和交換律(從略).令表示所有元素都為的零元的階方陣。對于任意的,對于任意的,有,.,容易驗證:上的乘法適合結合律,并且對上的加法適合分配律(從略).所以關于矩陣的加法和乘法構成一個環. 假設是任意一個可逆矩陣,從而,.這就表明的逆矩陣是唯一的. ,假設是一個循環群,證明:是交換環.證明 ,對于任意的,存在,使得,從而,(6),.所以是交換環.,對于任意的,令,⊙,證明:和⊙是上的兩個代數運算且關于加法和乘法⊙也構成一個有單位元的環.注到此為止,還要求證明和⊙:設是一個有單位元的環,定義上的代數運算加法和乘法⊙如下:,⊙,.證明:關于加法和乘法⊙也構成一個有單位元的環.證明 (顯而易見,和⊙都是上的代數運算.)對于任意的,有。。.由此可見,是以為零元的交換群.其次,對于任意的,有⊙⊙⊙⊙⊙⊙。 ⊙⊙, ⊙⊙ ,從而, ⊙⊙⊙。⊙⊙。 ⊙⊙

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