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線性代數總結匯總經典例題(編輯修改稿)

2026-04-21 07:09 本頁面

　

【文章內容簡介】行變換→階梯型矩陣則每行第一個非零的數對應的列向量構成極大無關組（五）向量空間1基（就是極大線性無關組）變換公式：若α1，α2，…，αn 與β1，β2，…，βn 是n維向量空間V的兩組基，則基變換公式為（β1，β2，…，βn）=（α1，α2，…，αn）Cnn其中，C是從基α1，α2，…，αn 到β1，β2，…，βn 的過渡矩陣。C=（α1，α2，…，αn）1（β1，β2，…，βn）1坐標變換公式：向量γ在基α1，α2，…，αn與基β1，β2，…，βn 的坐標分別為x=（x1，x2，…，xn）T，y=（y1，y2，…，yn）T，即γ=x1α1 + x2α2 + … +xnαn =y1β1 + y2β2 + … +ynβn，則坐標變換公式為x=Cy或y=C1x。其中，C是從基α1，α2，…，αn 到β1，β2，…，βn 的過渡矩陣。C=（α1，α2，…，αn）1（β1，β2，…，βn）（六）Schmidt正交化1Schmidt正交化設α1，α2，α3 線性無關（1）正交化令β1=α1（2）單位化4 線性方程組（一）方程組的表達形與解向量解的形式： (1)一般形式(2)矩陣形式：Ax=b；(3)向量形式：A=（α1，α2，…，αn）解的定義：若η=（c1，c2，…，）T滿足方程組Ax=b，即Aη=b，稱η是Ax=b的一個解（向量）（二）解的判定與性質齊次方程組：（1）只有零解←→r（A）=n（n為A的列數或是未知數x的個數）（2）有非零解←→r（A）＜n非齊次方程組：（1）無解←→r（A）＜r（A|b）←→r（A）=r（A）1（2）唯一解←→r（A）=r（A|b）=n（3）無窮多解←→r（A）=r（A|b）＜n解的性質：（1）若ξ1，ξ2是Ax=0的解，則k1ξ1+k2ξ2是Ax=0的解（2）若ξ是Ax=0的解，η是Ax=b的解，則ξ+η是Ax=b的解（3）若η1，η2是Ax=b的解，則η1η2是Ax=0的解【推廣】（1）設η1，η2，…，ηs是Ax=b的解，則k1η1+k2η2+…+ksηs為 Ax=b的解（當Σki=1） Ax=0的解（當Σki=0）（2）設η1，η2，…，ηs是Ax=b的s個線性無關的解，則η2η1，η3η1，…，ηsη1為Ax=0的s1個線性無關的解。變式：①η1η2，η3η2，…，ηsη2②η2η1，η3η2，…，ηsηs1（三）基礎解系基礎解系定義：（1）ξ1，ξ2，…，ξs 是Ax=0的解（2）ξ1，ξ2，…，ξs 線性相關（3）Ax=0的所有解均可由其線性表示→基礎解系即所有解的極大無關組注：基礎解系不唯一。任意nr（A）個線性無關的解均可作為基礎解系。★重要結論：（證明也很重要）設A施mn階矩陣，B是ns階矩陣，AB=O（1）B的列向量均為方程Ax=0的解（2）r（A）+r（B）≤n（第2章，秩）總結：基礎解系的求法（1）A為抽象的：由定義或性質湊nr（A）個線性無關的解（2）A為數字的：A→初等行變換→階梯型自由未知量分別取1,0,0；0,1,0；0,0,1；代入解得非自由未知量得到基礎解系（四）解的結構（通解）齊次線性方程組的通解（所有解）設r（A）=r，ξ1，ξ2，…，ξnr 為Ax=0的基礎解系，則Ax=0的通解為k1η1+k2η2+…+knrηnr （其中k1，k2，…，knr為任意常數）非齊次線性方程組的通解設r（A）=r，ξ1，ξ2，…，ξnr 為Ax=0的基礎解系，η為Ax=b的特解，則Ax=b的通解為η+ k1η1+k2η2+…+knrηnr （其中k1，k2，…，knr為任意常數）（五）公共解與同解1公共解定義：如果α既是方程組Ax=0的解，又是方程組Bx=0的解，則稱α為其公共解1非零公共解的充要條件：方程組Ax=0與Bx=0有非零公共解←→ 有非零解←→ 1重要結論（需要掌握證明）（1）設A是mn階矩陣，則齊次方程ATAx=0與Ax=0同解，r（ATA）=r（A）（2）設A是mn階矩陣，r（A）=n，B是ns階矩陣，則齊次方程ABx=0與Bx=0同解，r（AB）=r（B）5

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