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全國(guó)高中數(shù)學(xué)競(jìng)賽專題-三角函數(shù)(編輯修改稿)

2026-05-01 03:22 本頁(yè)面

　

【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 ∈R)與 y=Asin( x+ )(A, , 0).??例 6 已知 f(x)=sin( x+ )( 0, 0≤ ≤π)是 R 上的偶函數(shù)，其圖象關(guān)于點(diǎn) 對(duì)稱，且在區(qū)間? ??0,43?M上是單調(diào)函數(shù)，求和的值。??????2,0?【解】由 f(x)是偶函數(shù)，所以 f(x)=f(x)，所以 sin( x+ )=sin( x+ )，??所以 cos sinx=0，對(duì)任意 x∈R 成立。又 0≤ ≤π，解得 = ，? 2?因?yàn)?f(x)圖象關(guān)于對(duì)稱，所以 =0。??????0,43?M)3()(ff???5取 x=0，得 =0，所以 sin 所以 (k∈Z)，即 = (2k+1) (k∈Z).)43(?f .0243??????????243?????32又 0，取 k=0 時(shí)，此時(shí) f(x)=sin(2x+ )在[0 ， ]上是減函數(shù)；?取 k=1 時(shí)， =2，此時(shí) f(x)=sin(2x+ )在[0 ， ]上是減函數(shù)；取 k=2 時(shí)， ≥ ，此時(shí) f(x)=sin( x+ )在[0， ]上不是單調(diào)函數(shù)，310?2?綜上， = 或 2。?37．三角公式的應(yīng)用。例 7 已知 sin(αβ)= ，sin(α+β)= ，且 αβ∈ ，α+β ∈ ，求 sin2α,cos2β 的值。15135???????,2???????2,3【解】因?yàn)?αβ∈ ，所以 cos(αβ)=???????,2 .1)(sin?????又因?yàn)?α+β∈ ，所以 cos(α+β)=, .312?所以 sin2α=sin[(α+β)+(αβ)]=sin(α+β)cos(αβ)+cos(α+β)sin(αβ)= ,1690cos2β=cos[(α+β)(αβ)]=cos(α+β)cos(αβ)+sin(α+β)sin(αβ)=1.例 8 已知△ABC 的三個(gè)內(nèi)角 A，B，C 成等差數(shù)列，且，試求的值。BCAcos2cos1???2csCA?【解】因?yàn)?A=1200C，所以 cos =cos(600C)，2?又由于 )120cos(cs1cos(cos10 ???= ，26)]2(2[600 ????C所以 =0。解得或。3coscos24?CA2cosA83cos?A又 0，所以。CA?2?例 9 求證：tan20 +4cos70 =??3【解】 tan20 +4cos70 = +4sin20?20cosin? ???? ???20cos4ini0cos2in4si ??????134i .20cos6in20cos8in??例 10 證明： 7cos7521cos35s64coxxx???6分析：等號(hào)左邊涉及角 7x、5 x、3 x、 x 右邊僅涉及角 x，可將左邊各項(xiàng)逐步轉(zhuǎn)化為 xsin、xcos的表達(dá)式，但相對(duì)較繁. 觀察到右邊的次數(shù)較高，可嘗試降次.證明：因?yàn)?,cos3cos4,cso433x????所以從而有 xx226 96cs1? )21()( xxxx cos0cos304cos126cos264 ,37 ???? .557 2156評(píng)述：本題看似“化簡(jiǎn)為繁”，實(shí)質(zhì)上抓住了降次這一關(guān)鍵，很是簡(jiǎn)捷. 另本題也可利用復(fù)數(shù)求解. 令 77)(cos128,cos2,sinco zzz ?????? ???從而則，展開(kāi)即可.2022 北約7例 11 已知 .201tansec:,201tan???????求證證明： )4tan()2sin(o2citsec ??????.201tan??.t??例 12 證明：對(duì) 任一自然數(shù) n 及任意實(shí) 數(shù) mkmx,10(???為任一整數(shù) ），有 .2cot2si14si2i1 xx nn???思路分析：本題左邊為 n 項(xiàng)的和，右邊為 2 項(xiàng)之差，故嘗試將左邊各項(xiàng)“裂”成兩項(xiàng)之差，并希冀能消去其中許多中間項(xiàng).證明： ,ctsincosisicosin2 xxxxx ????同理 4tt41…… nn2o211?評(píng)述：①本題裂項(xiàng)技巧也可通過(guò)數(shù)學(xué)歸納法獲得.②“裂項(xiàng)相消”在解題中具有一定的普遍性，類似可證下列各題： nn???? ??? tat)1ta(3tan2tan?.??????? ? 1cots89cos2cos1cos0 222 ?n1000t2tsin[()]tan(1)tacon n??????提示：例 13 設(shè) 的內(nèi)角所對(duì)的邊成等比數(shù)列，則的取值范圍是（）ABC?,bcsincotsACB?A. B. C. D. (0,)??51(0,)251(,)2?51(,)2??[解] 設(shè) 的公比為，則，而abcq,acq?sinotcsicsinnoAB?? 　　．sin()()isisACBbqAa???因此，只需求的取值范圍．因成等比數(shù)列，最大邊只能是或，因此要構(gòu)成三角形的三邊，必需且只需且,abcac,cabc??．即有不等式組??8即解得2,aq??????10,.q????????51,????????或從而，因此所求的取值范圍是．故選 C512??1(,)?例 14 △ABC 內(nèi)接于單位圓，三個(gè)內(nèi)角 A、B、C 的平分線延長(zhǎng)后分別交此圓于AB C 1，則的值為（）BAsinsin2cos2co2co11????A．2 B．4 C．6 D．8解：如圖

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