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分類討論思想在高考中的應用(編輯修改稿)

2026-05-13 23:41 本頁面

　

【文章內容簡介】求導數，得解不等式，得0＜x＜e 解不等式，得x＞e 故在（0，e）上單調遞增，在（e，+∞）上單調遞減（2）①當2a≤e時，即時，由（1）知在（0，e）上單調遞增，所以 ②當a≥e時，由（1）知在（e，+∞）上單調遞減，所以 ③當時，需比較與的大小因為所以，若，則，此時若2＜a＜e，則，此時綜上，當0＜a≤2時，；當a＞2時總結升華：對于函數問題，定義域要首先考慮，而（２）中③比較大小時，作差應該是非常有效的方法. 舉一反三：【變式1】設，（1）利用函數單調性的意義，判斷f(x)在（0，+∞）上的單調性；（2）記f(x)在0＜x≤1上的最小值為g(a)，求y=g(a)的解析式. 解析：（1）設0＜x1＜x2＜+∞ 則f(x2)f(x1)= 由題設x2x1＞0，ax1x2＞0 ∴當0＜x1＜x2≤時，∴f(x2)f(x1)＜0，即f(x2)＜f(x1)，則f(x)在區間[0，]單調遞減，當＜x1＜x2＜+∞時，∴f(x2)f(x1)＞0，即f(x2)＞f(x1)，則f(x)在區間（，+∞）單調遞增. （2）因為0＜x≤1，由（1）的結論，當0＜≤1即a≥1時，g(a)=f()=2。當＞1，即0＜a＜1時，g(a)=f(1)=a 綜上，所求的函數y=g(a)＝. 【變式2】求函數在上的值域. 解析：令，則 (1)當0＜a≤1時， ∵0≤x≤a，∴f′(x)≥0(只有a=1且x=1時f′(x)=0) ∴f(x)在[0,a]上單增，從而，值域為； (2)當a＞1時， ∵0≤x≤a，∴f(x)在單增，在上單減，并且，∴，值域為； (3)當1≤a＜0時， ∵0≤x≤|a|，∴f(x)在[0,|a|]上遞減從而即，值域為 (4)當a＜1時， ∵0≤x≤|a|，∴f(x)在單減，在上單增， ∴，又， ∴，值域為.類型三：數列數列{an}的前n項和為Sn，已知{Sn}是各項均為正數的等比數列，試比較與的大小，并證明你的結論. 解析：設等比數列{Sn}的公比為q，則q＞0 ①q=1時，Sn=S1=a1 當n=1時，a2=0，∴，即當n≥2時，an=SnSn1=a1a1=0，即 ②q≠1時，Sn=S1qn1=a1qn1 當n=1時， ∴，即. 當n≥2時， an=SnSn1=a1qn1a1qn2=a1qn2(q1) 此時 ∴q＞1時， 0＜q＜1時，. 總結升華：等比數列前n項和公式分q=1或q≠1兩種情況進行討論. 舉一反三：

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