高考數(shù)學(xué)解題技巧(編輯修改稿)

　

【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 分元素間的相對(duì)順序確定：據(jù)題意由于丁必須在丙完成后立即進(jìn)行，故可把兩個(gè)視為一個(gè)大元素，先不管其它的限制條件，使其與其他四人進(jìn)行排列共有A種排法，在所有的這些排法中，甲、乙、丙相對(duì)順序共有A種，故滿足條件的排法種數(shù)共有=20.【正解】 5個(gè)元素設(shè)作A,B,（C,D）,x,:第一類,x,y相連,在A,B,（C,D）之間或兩頭插位,有2C=8種方法.第二類,x,y不連,在A,B,（C,D）之間或兩頭插位,有2C=12種方法.【評(píng)說(shuō)】 先分類:“相連”與“不連”為完全劃分；后分步：第1步組合，第2步排列，也是完全劃分.【另解】 5個(gè)元素設(shè)作A，B，（C，D），x,b,(c,d),e,f.第1步考慮元素x到位，有5種可能；第2步考慮元素y到位，有4種可能；第3步，A，B，（C，D）按順序到位，只1種可能.由乘法原理，方法總數(shù)為54=20種.【評(píng)說(shuō)】 “另解”比“正解”簡(jiǎn)便，在留下的3個(gè)位置上，A，B，（C，D）按序到位情況只1種.——這點(diǎn)，一般學(xué)生不易想通.【別解】 設(shè)所求的排法總數(shù)為x種，在每1個(gè)排好的隊(duì)列中，取消A，B，（C，D）3元素的限序，則有xP3=P5x==54=20.【評(píng)說(shuō)】 別解也是“想得好，算得省”，用的是乘法原理P5=5P4=20P3.第6計(jì) 勇士開(kāi)門(mén) 手腳咚咚●計(jì)名釋義一個(gè)婦女立在衙門(mén)前的大鼓旁邊，在哭. ：“我敲鼓半天了，衙門(mén)還不開(kāi).”勇士說(shuō)：“你太斯文，這么秀氣的鼓捶，能敲出多大聲音？你看我的！”說(shuō)完，勇士撲向大鼓，拳打腳踢. 一會(huì)兒，果然衙門(mén)大開(kāi)，衙役們高呼：“有人擊鼓，請(qǐng)老爺升堂！”考場(chǎng)解題，何嘗不是如此：面對(duì)考題，特別是難題，斯文不得，秀氣不得，三教九流，不拘一格. 唯分是圖，雅的，俗的，一并上陣.●典例示范【例1】 已知x,y∈, a∈R，且,則cos (x+2y)的值為 ( ) 【思考】 代數(shù)方程中滲入了三角函數(shù)，不可能用初等方法“正規(guī)”，能否通過(guò)適當(dāng)?shù)淖冃问怪伞靶嗡啤钡健吧袼啤蹦兀开ソ猓河蓷l件得：∴x,2y是方程t3+sint2a=0之二根.【插語(yǔ)】 這是勇士之舉，采用手腳并用，誰(shuí)會(huì)想到用方程根來(lái)解決它呢?設(shè)f (t)=t3+sint2a. 當(dāng)t∈時(shí)，均為增函數(shù)，而2a為常數(shù).∴上的單調(diào)增函數(shù).∵f (x)= f (2y)=0.∴只能x=2y,即x+2y= (x+2y)=1. 選B.【點(diǎn)評(píng)】 想到方程根使所給2個(gè)式子合二為一，是本題一個(gè)難點(diǎn)之一；判斷函數(shù)是單調(diào)函數(shù)又是一個(gè)難點(diǎn).【例2】 已知向量a= (cosθ,sinθ),向量b=(,1) ， 則 |2a b| 的最大值、最小值分別是( ),0 ,2 ,0 ,0【解答】 如圖，點(diǎn)A(cosθ,sinθ)在圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)，延OA到C，使==2a, 求的最值，顯然.當(dāng)與反向時(shí)有最大值4,與同向時(shí)有最小值0. ∴選D.【點(diǎn)評(píng)】 本例 解題思想很簡(jiǎn)單，誰(shuí)不知道“三角形兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊”呢， 例2題解圖為求極值，我們的勇士勇敢地到極地——當(dāng)△BOC不復(fù)存在時(shí)，才有可能取得.【例3】 設(shè)f (x), g(x)分別是定義在R上的奇函數(shù)和偶函數(shù)，當(dāng)x0時(shí)，f′(x)g(x)+f (x)g′(x)0，且g(3)=0, 則不等式f (x)g(x)0的解集是 ( )A.(3,0)∪(3,+∞) B.(3,0)∪(0,3)C.(∞,3)∪(3,+∞) D.(∞,3)∪(0,3)【解答】 設(shè)F(x)= f (x)g(x), 當(dāng)x0時(shí)，∵F′(x)= f′(x)g(x)+f (x)g′(x)0.∴F(x)在R上為增函數(shù).∵F(x)= f (x)g (x)=f (x)g (x).=F(x).故F(x)為(∞,0)∪(0,+∞)上的奇函數(shù).∴F(x)在R上亦為增函數(shù).已知g(3)=0,必有F(3)=F(3)=0.構(gòu)造如圖的F（x）的圖象，可知 例3題解圖F(x)0的解集為x∈(∞,3)∪(0,3).【點(diǎn)評(píng)】 本例選自04湖南卷12題,是小題中的壓軸題，顯然，不懂得導(dǎo)數(shù)基本知識(shí)對(duì)待本例是無(wú)能為力的，高中 代數(shù)在導(dǎo)數(shù)中得到升華，導(dǎo)數(shù)也是初數(shù)的“極地”.本題還構(gòu)造了圖形，使問(wèn)題更有說(shuō)服力.●對(duì)應(yīng)訓(xùn)練 ( ){an}和{bn}的極限都不存在，則{an+bn}的極值一定不存在{an}和{bn}的極限都存在，則{an+bn}的極限一定存在{an+bn}的極限不存在，則{an}和{bn}的極限都一定不存在{an+bn}的極限存在，則{an}和{bn}的極限要么都存在，要么都不存在 (1,0)且斜率為k的直線與圓x2+4x+y25=0在第一象限內(nèi)的部分有交點(diǎn)，則k的取值范圍是 （ ）k k0 k k5(12x )9展開(kāi)式的第3項(xiàng)為288，則的值是 ( ) C. D.●參考答案 (正反推證）若{an+bn}:1,1,1,1,…的極限存在而推出{an}:0,1,0,1,0,1…,{bn}:1,0,1,0,1,0…,極限都不存在，但若{an}:1,1,1,1…,{bn}:0,0,0,0…,極限又都存在，故D正確，同理可排除A、B、C. （數(shù)形并用）如圖，以C (2,0)為圓心，r=3為半徑的⊙C交x、y正半軸于A（1,0）,B (0,), 而M (1, 0)在⊙C內(nèi)部，當(dāng)N∈時(shí)，顯然，kMNkMA=0。kMNkMB=.故知, k∈(0,), 選A. 第2題解圖 T3=C(2x)2=36 (2x)2=288， ∴2 2x=8， x=, =∈(0,1).∴數(shù)列{}是首項(xiàng)與公比均為的無(wú)窮遞縮等比數(shù)列.原式==2. 選A.第7計(jì) 模特開(kāi)門(mén) 見(jiàn)一知眾●計(jì)名釋義一時(shí)裝模特，在表演時(shí)，自己笑了，臺(tái)下一片喝彩聲. 她自感成功，下去向老板索獎(jiǎng). 誰(shuí)知老板不僅沒(méi)獎(jiǎng)，反而把她炒了. 冤枉不？不冤枉！模特二字，特是幌子，模是目的.模特表演是不能笑的. 試想，模特一笑，只能顯示模特本人的特色，誰(shuí)還去看她身上的服裝呢？所以，模特一笑，特在模掉！數(shù)學(xué)的特殊性（特值）解題，既要注意模特的特殊性，更要注意模特的模式性（代表性），這樣，才能做到“一點(diǎn)動(dòng)眾”. 特值一旦確定，要研究的是特值的共性.選擇題中的“特值否定”，填空題中的“特值肯定”，解答題中的“特值檢驗(yàn)”，都是“一點(diǎn)動(dòng)眾”的例子.●典例示范【例1】 如果0a1,那么下列不等式中正確的是 （ ）A.(1a)(1a) B.log(1a)(1+a)0C.(1a)3(1+a)2 D.(1a)1+a1【思考】 本題關(guān)鍵點(diǎn)在a,我們一個(gè)特殊數(shù)值，作為本題的模特.令a=,各選項(xiàng)依次化為： （ ）A． B. C． D. 顯然，有且僅有A是正確的，選A.【點(diǎn)評(píng)】 本題是一個(gè)選擇題，因此可以選一個(gè)模特?cái)?shù)代表一類數(shù)，一點(diǎn)動(dòng)眾.你還需要講“道理”嗎？為減函數(shù)，log0,B不對(duì)；也是減函數(shù)，,D不對(duì)；直接計(jì)算，C也不對(duì)；只有A是對(duì)的.【例2】 已知定義在實(shí)數(shù)集R上的函數(shù)y=f (x)恒不為零，同時(shí)滿足:f (x+y)=f (x)f (y),且當(dāng)x0時(shí)，f (x)1,那么當(dāng)x0時(shí)，一定有 （ ）A．f (x)1 f (x)0 (x)1 f (x)1【思考1】 本題是一個(gè)抽象函數(shù),破題之處在于取特殊函數(shù),一點(diǎn)動(dòng)眾.設(shè)f (x)=2x, 顯然滿足f (x+y)=f (x)f (y) (即2x+y =2x2y), 且滿足x0時(shí)，f (x)1,根據(jù)指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，當(dāng)x0時(shí)，02x f (x)1. 選D.【點(diǎn)評(píng)】 題干中的函數(shù)抽象，先選定特殊的指數(shù)函數(shù)使之具體，而指數(shù)函數(shù)無(wú)窮無(wú)盡地多，索性再特殊到底，選定最簡(jiǎn)單且又符合題意的函數(shù)y=2x, 這就是我們這題的模特,，你還愿意糾纏在“為什么”上無(wú)謂地犧牲自己寶貴的時(shí)間嗎？【思考2】 取特值. 令x=0, y=0, 有f (0) = ［f (0)2 ( f (x)≠0), 則f (0)=1, f (0)= f (xx)= f (x) f (x), 即, 當(dāng)x0時(shí)，x0.由條件：f (x)1, 故x0時(shí), 0 f (x)1.【例3】 若A, B, C是△ABC的三個(gè)內(nèi)角，且ABC （C≠), 則下列結(jié)論中正確的是（ ）sinC cosC tanC cotC【思考】 本題的模特是取特殊角. 令A(yù)=30176。, B= 45176。,C=105176。, 則cosC0,tanC0,cotC0.B、C、D選A.【點(diǎn)評(píng)】 此題用常法論證也不難，但是誰(shuí)能斷言：本解比之常法不具有更大的優(yōu)越性呢？●對(duì)應(yīng)訓(xùn)練 (x)=1+5x10x2+10x35x4+x5, 則f (x)的反函數(shù)的解析式是 （ ）A． B. C． D. ，命題M是命題N的充要條件的一組是 （ ）A． B.C. D.= f (x)與y=g(x)的圖像如圖（1）所示，則y= f (x)g(x)的大致圖像為（ ） 第3題圖（1） 第3題圖（2） ●參考答案1.B 取特殊的對(duì)稱點(diǎn). ∵f (0)=1, ∴(0,1)在f (x)的圖像上，（1，0）在f (x)的圖像上，將（1，0）代入各選項(xiàng)，僅B適合， ∴選B.點(diǎn)評(píng) 題干和選項(xiàng)都那么復(fù)雜，（0，1）.就能找出（1，0），解題就需要這種悟性，說(shuō)到底，還是能力.2.D 取特殊值. 令c=0, 否定A；B、C都不能倒推，條件不必要.3.B 取特殊的區(qū)間. 由圖像知f (x)為偶函數(shù)（圖（1）中圖像關(guān)于y軸對(duì)稱），g(x)為奇函數(shù)（圖（2）中圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱）. ∴y= f (x)g(x)為奇函數(shù)，其圖像應(yīng)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，排除A、C，取x∈(2,1), 由圖(1)知f (x)0,由圖（2）知g(x)0,故當(dāng)x∈(2, 1)時(shí)，應(yīng)有y= f (x)g(x)0. 選B.點(diǎn)評(píng) 無(wú)須弄清圖（1）、圖（2）到底表示什么函數(shù)，不必要也不可能僅憑已有的圖像信息去“精確描繪”y=f (x)g(x)，選定特殊區(qū)間（2，1）一次檢驗(yàn)即解決問(wèn)題.第8計(jì) 小姐開(kāi)門(mén) 何等輕松●計(jì)名釋義有一大漢，想進(jìn)某屋. 門(mén)上并未加鎖，但他久推不開(kāi)，弄得滿頭大汗.后面?zhèn)鱽?lái)一位小姐輕輕的聲音：“先生別推，請(qǐng)向后拉！”大漢真的向后一拉，果然門(mén)就輕輕地開(kāi)了. 大漢奇怪地問(wèn)：“這門(mén)上并沒(méi)有寫(xiě)拉字，你怎么知道是拉門(mén)的呢？”小姐答：“因?yàn)槲铱吹侥阃屏税胩欤T(mén)還不動(dòng)，那就只有拉了！”數(shù)學(xué)上的“正難則反”就是這位小姐說(shuō)的意思. 既然正面遇上困難，那就回頭是岸，向反方向走去.●典例示范【例1】 求證：拋物線沒(méi)有漸近線.【分析】 二次曲線中僅有雙曲線有漸近線，什么是漸近線？人們的解釋是與曲線可以無(wú)限接近卻又沒(méi)有公共點(diǎn)的直線.拋物線是否有這樣的直線？？“正難反收”，假定拋物線有漸近線，是否會(huì)導(dǎo)出不合理的結(jié)果？【證明】 不妨設(shè)拋物線方程為y2=2px. 假定此拋物線有漸近線y=kx+b,