高考熱點問題與解題策略(編輯修改稿)

　

【文章內(nèi)容簡介】 a＝b＝1c＝10，猜測a、b、c的值對所有的n∈N都成立，再運用數(shù)學歸納法進行證明。（屬于是否存在型問題，也可屬于猜想歸納型問題）2題：計算得到S＝、S＝、S＝、S＝，觀察后猜測S＝，再運用數(shù)學歸納法進行證明。Ⅱ、示范性題組：【例1】已知方程kx＋y＝4，其中k為實數(shù)，對于不同范圍的k值，分別指出方程所代表圖形的類型，并畫出曲線簡圖。【分析】由圓、橢圓、雙曲線等方程的具體形式，結(jié)合方程kx＋y＝4的特點，對參數(shù)k分kk＝0kk＝0、k0五種情況進行討論。【解】由方程kx＋y＝4，分kk＝0kk＝0、k0五種情況討論如下：① 當k1時，表示橢圓，其中心在原點，焦點在y軸上，a＝2，b＝。② 當k＝1時，表示圓，圓心在原點，r＝2；③ 當0k1時，表示橢圓，其中心在原點，焦點在x軸上，a＝，b＝2；④ 當k＝0時，表示兩條平行直線 y＝177。2；⑤ 當k0時，表示雙曲線，中心在原點，焦點在y軸上。 y y y y y x x x x x所有五種情況的簡圖依次如下所示：【注】分類討論型問題，把所有情況分類討論后，找出滿足條件的條件或結(jié)論。【例2】給定雙曲線x－＝1， ① 過點A(2,0)的直線L與所給雙曲線交于P及P，求線段PP的中點P的軌跡方程； ② 過點B(1,1)能否作直線m，使m與所給雙曲線交于兩點Q、Q，且點B是線段Q、Q的中點？這樣的直線m如果存在，求出它的方程；如果不存在，說明理由。（81年全國高考題）【分析】兩問都可以設直線L的點斜式方程，與雙曲線方程聯(lián)立成方程組，其解就是直線與雙曲線的交點坐標，再用韋達定理求解中點坐標等。【解】① 設直線L：y＝k(x－2)∴ 消y得(2－k)x＋4kx－(2＋4k)＝0 ∴ x＋x＝ ∴x＝ 代入直線L得：y＝ ∴ 消k得2x－4x－y＝0即－＝1線段PP的中點P的軌跡方程是：－＝1② 設所求直線m的方程為：y＝k(x－1)＋1∴ 消y得(2－k)x＋(2k－2k)x＋2k－k－3＝0 ∴ x＋x＝＝22 ∴k＝2代入消y后的方程計算得到：△0， ∴滿足題中條件的直線m不存在。【注】本題綜合性比較強，將解析幾何知識進行了橫向綜合。對于直線與曲線的交點問題和有關交點弦長及其中點的問題，一般可以利用韋達定理和根的判別式求解。本題屬于存在型問題，其一般解法是：假設結(jié)論不存在，若推論無矛盾，則結(jié)論確定存在；若推證出矛盾，則結(jié)論不存在。在解題思路中，分析法與反證法起了關鍵作用。這類問題一般是先列出條件組，通過等價轉(zhuǎn)化解組。【例3】設{a}是正數(shù)組成的數(shù)列，其前n項的和為S，并且對于所有的自然數(shù)n，a與2的等差中項等于S與2的等比中項。 ① 寫出數(shù)列{a}的前3項； ② 求數(shù)列{a}的通項公式（寫出推證過程）； ③ 令b＝（＋） (n∈N)，求(b＋b＋…＋b－n)。(94年全國高考題)【分析】由題意容易得到＝，由此而求得a、a、a，通過觀察猜想a，再用數(shù)學歸納法證明。求出a后，代入不難求出b，再按照要求求極限。【解】① ∵ ＝＝ ∴ a＝2∵ ＝＝＝ ∴ a＝6∵ ＝＝＝ ∴a＝10 所以數(shù)列{a}的前3項依次為10。② 由數(shù)列{a}的前3項依次為10猜想a＝4n－2， 下面用數(shù)學歸納法證明a＝4n－2：當n＝1時，通項公式是成立的；假設當n＝k時結(jié)論成立，即有a＝4k－2，由題意有＝,將a＝4k－2代入得到：S＝2k；當n＝k＋1時，由題意有＝＝∴ ()＝2(a＋2k) 即a－4a＋4－16k＝0 由a0，解得a＝2＋4k＝4(k＋1)－2，所以n＝k＋1時，結(jié)論也成立。綜上所述，上述結(jié)論對所有的自然數(shù)n都成立。③ 設c＝b－1＝（＋）－1＝（＋－2）＝[（－1）＋(－1)]＝－b＋b＋…＋b－n＝c＋c＋…＋c＝（1－）+（－）＋…＋(－)＝1－∴(b＋b＋…＋b－n)＝(1－)＝1【注】本題求數(shù)列的通項公式，屬于猜想歸納型問題，其一般思路是：從最簡單、最特殊的情況出發(fā)，推測出結(jié)論，再進行嚴格證明。第③問對極限的求解，使用了“裂項相消法”，設立新的數(shù)列c具有一定的技巧性。此外，本題第②問數(shù)列通項公式的求解，屬于給出數(shù)列中S與a的函數(shù)關系式求a，對此類問題我們還可以直接求解，解答思路是由a＝S－S的關系轉(zhuǎn)化為數(shù)列通項之間的遞推關系，再發(fā)現(xiàn)數(shù)列的特征或者通過構(gòu)造新的數(shù)列求解。具體的解答過程是：由題意有＝，整理得到S＝(a＋2)，所以S＝(a＋2)，∴ a＝S－S＝[(a＋2)－(a＋2)]整理得到(a＋a)( a－a－4)＝0由題意a0可以得到：a－a－4＝0,即a－a＝4∴數(shù)列{a}為等差數(shù)列，其中a＝2，公差d＝4，即通項公式為a＝4n－2。【例4】已知x0，x≠1，且x＝ (n∈N)，比較x與x的大小。(86年全國理)【分析】比較x與x的大小，采用“作差法”，判別差式的符號式，分情況討論。【解】x－x＝－x＝由x0及數(shù)列{x}的定義可知，x0，所以x－x與1－x的符號相同。假定x1，當n＝1時，1－x0；假設n＝k時1－x0，那么當n＝k＋1時，1－x＝1－[]＝0，因此對一切自然數(shù)n都有1－x0,即xx。假定x1，當n＝1時，1－x0；假設n＝k時1－x0，那么當n＝k＋1時，1－x＝1－[]＝0，因此對一切自然數(shù)n都有1－x0,即xx。所以，對一切自然數(shù)n都有xx。【注】本題對1－x的符號的探討，由于其與自然數(shù)n有關，考慮使用數(shù)學歸納法解決。一般地，探索性問題與自然數(shù)n有關時，我們可以用歸納→猜想→證明的方法解出。Ⅲ、鞏固性題組：1. 設{a}是由正數(shù)組成的等比數(shù)列，S是前n項和。 ①. 證明： lgS； ②.是否存在常數(shù)c0，使得lg（S－c）成立？并證明你的結(jié)論。(95年全國理){b}是等差數(shù)列，b＝1，b＋b＋…＋b＝100。①.求數(shù)列{b}的通項； ②.設數(shù)列{a}的通項a＝lg(1＋)，記S是數(shù)列{a}的前n項和，試比較S與lgb的大小，并證明你的結(jié)論。（98年全國高考題）、b、c，使得a＝an＋bn＋c，且滿足a＝1,3S＝(n＋2)a，對一切自然數(shù)n都成立（其中S＝a＋a＋…＋a）？試證明你的結(jié)論。＝(1＋x)，Q＝1＋nx＋x，n∈N，x∈(1,+∞)，比較P和Q的大小。{a}滿足關系式a＝a (a0)，a＝ (n≥2，n∈N)。 A y B O C x① 用a表示a、a、a； ② 猜想a的表達式，并證明你的結(jié)論。△ABC中，∠A、∠B、∠C的對邊分別是a、b、c，且b、a、c成等差數(shù)列，b≥c。已知B(1,0)、C(1,0)。① 求頂點A的軌跡L； P N B M AC D② 是否存在直線m，使m過點B并與曲線L交于不同的兩點P、Q且|PQ|恰好等于原點O到直線m距離的倒數(shù)？若存在，求出m的方程；若不存在，說明理由。，已知矩形ABCD，PA⊥平面ABCD，M、N分別是AB、PC的中點。① 求證：MN⊥AB；② 若平面PDC與平面ABCD所成的二面角為θ，能否確定θ，使得直線MN是異面直線AB與PC的公垂線？若能確定，求出θ的值；若不能確定，說明理由。三、選擇題解答策略近幾年來高考數(shù)學試題中選擇題穩(wěn)定在14～15道題，分值65分，%。高考選擇題注重多個知識點的小型綜合，滲逶各種數(shù)學思想和方法，體現(xiàn)基礎知識求深度的考基礎考能力的導向。使作為中低檔題的選擇題成為具備較佳區(qū)分度的基本題型。因此能否在選擇題上獲取高分，對高考數(shù)學成績影響重大。解答選擇題的基本策略是準確、迅速。準確是解答選擇題的先決條件。選擇題不設中間分，一步失誤，造成