20xx數(shù)學(xué)建模國賽一等獎(jiǎng)?wù)撐?編輯修改稿)

　

【文章內(nèi)容簡介】 由于本題給出的數(shù)據(jù)具有差異性，這里先利用 Matlab對(duì)數(shù)據(jù)插值擬合為后續(xù)的 x， y取網(wǎng)格化數(shù)據(jù)提供基礎(chǔ)。這里插值對(duì)本題模型精度造成極大影響。由此我們提出了 利用遺傳算法反演擴(kuò)散特征進(jìn)而反求污染源的模型二。 模型二， 在 重金屬傳播特征的基礎(chǔ)上引入污染源的確定模型如下： ? ? ? ? ? ?iiiqiizyxzyxzzyyxxMz CEy CEx CEzCuyCuxCutC?????????????????????????????1222222 533 上式中 C為重金屬濃度， Ex， Ey， Ez為在 x， y， z三個(gè)方向的擴(kuò)散系數(shù)， ux， uy， 18 uz為在 x， y， z三個(gè)方向的對(duì)流系數(shù)。 Mi為污染源的排放強(qiáng)度。 ? ? ? ? ? ?iiiqi i zzyyxxM ????? ???1 為 污染 源 處對(duì)濃度變化率的影響 。 進(jìn)而可以通過確定該項(xiàng)的值來確定污染源的大致位置。 記 ? ?zyxr ,? ， 0||r||L， L為理想情況下污染源的 最大擴(kuò)散距離。 不考慮 Ex，Ey， Ez的差異， 令 它們的值都為 E， 也不考慮 ux、 uy、 uz的差異，令它們的值都為u。那么式 533可以簡化為： ? ?? ? ? ?? ??????????????????????????????00,435 0, ,0,0 0t, L||r||0 122rCtLCtCrrMrCErCutCiqii? 對(duì)式 534進(jìn)行正向求解如下： 令函數(shù)變換 ： ? ? ? ? ????????? EtetrVtrC 4u2Eur 2 , 535 定解問題 534可轉(zhuǎn)化為定解問題 536 ? ?? ? ? ?? ???????????????????? ??????????00,0, ,0,014u2Eur222rVtLVtVrrMerVEtViqiiEt? 536 那么可得 ??tTn 滿足的方程為： ? ? ? ?? ???????????????00239。nnnnTftTLntT ? 解得： ? ? ????????????????? ??????????????? 242224LntEtun eeLnEuBtT ?? 19 其中 LrneMLB iEuxqi ii ?s in2 21???? 最后求出方程組 536的解為： ? ? L rneeLnEuLrneMLtrV LntEtuniEuxqiii????s i n4s i n2,24122212?????????????????? ????????????????????? 537 為 了確定污染源的位置，我們要利用先驗(yàn)數(shù)據(jù) ，本文中 ? ?trVVirr ,| ??為已知。 由 537可知解 ? ?trV , 依賴于 ir 及 qiM i ?,2,1, ? ， 可以把解 ? ?trV , 記為),,( 2121 qq MMMrrrtrVV ??? ， 根據(jù)已知附加條件 ,源項(xiàng)識(shí)別反問題便轉(zhuǎn)化為下面非線性優(yōu)化問題： ? ? ? ???? ?qi qqLr TrVMMMrrrTrVi 122121,0 ),(),,(min ?? 538 即使 538最小的 qiMr ii ?,2,1, ? 就是源項(xiàng)識(shí)別 反問題的最優(yōu)解。 針對(duì)本問題的求解， 考慮到對(duì)流對(duì)該模型影響 較小，同時(shí)為了簡化模型方便求解，我們忽略了方程的對(duì)流項(xiàng) ，令 u=0。此外，由問題一的分析得出，重金屬分布主要集中在海拔為 0— 100m范圍內(nèi)的低海拔區(qū)，在這個(gè)高度范圍內(nèi)我們認(rèn)為在 z 方向上沒有濃度梯度 , 即污染物濃度值不變。 所以令 r=(x,y)，由此我們可以得到式 53 53 537的簡化式 如下 ： ? ? 122 iqi i rrMrCEtC ??????? ?? ? ? ? ? ?trVtrC , ? ? ? L rneLnLrnMLtrV Lntniqii ????s i n1s i n2,2121????????????????? ???????????? 結(jié)合問題一得到的各個(gè)重金屬濃度分布圖， 先對(duì)位置 r 歸一化，如 ||r ||=（ ||r ||+1000） ./(max(|| r ||)+1000)。處理 通過 Matlab編程，使用遺傳算法， 其中參數(shù)取法如 見附錄程序，求得各個(gè)重金屬污染源點(diǎn)如下： （ 1） As的污染源確定：先對(duì)數(shù)據(jù)表通過對(duì) As列降序排序，實(shí)際上 污染源點(diǎn)必在有污染區(qū)。取其前 161組最大濃度點(diǎn)進(jìn)行計(jì)算，再則利用問題一的 As濃度分布圖 ， 20 可以預(yù)判污染源個(gè) 數(shù)小于等于 3個(gè)，以此為基礎(chǔ)提高算法效率。 污染源編號(hào) 1 2 3 污染源位置 (x,y) (10856， 14727) (6837,3490) (5734， 9659) 同理可得： （ 2） Cd的污染源確定 污染源編號(hào) 1 2 3 4 污染源位置 (x,y) (5734， 9659) (15748,15728) (20554,11228) (9277,16148) （ 3） Cr的污染源確定 污染源編號(hào) 1 2 污染源位置 (x,y) (22965,13535) (8403,1075) （ 4） Cu的污染源確定 污染源編號(hào) 1 2 污染源位置 (x,y) (23359,5325) (10510,15314) （ 5） Hg的污染源確定 污染源編號(hào) 1 2 3 污染源位置 (x,y) (12442， 4329) (20261,7586) (10700,8184) （ 6） Ni的污染源確定 污染源編號(hào) 1 2 3 污染源位置 (x,y) (22193， 12185) (9277,16148) (13175,12238) （ 7） Pb的污染源確定 污染源編號(hào) 1 2 3 污染源位置 (x,y) (5394， 8631) (11902,7709) (10510,15314) （ 8） Zn的污染源確定 污染源編號(hào) 1 2 3 4 污染源位置 (x,y) (7056， 8348) (5503,1127) (13244,7056) (14177,6684) 通過對(duì)整個(gè)城區(qū)里八種重金屬元素的相關(guān)性分析，可以推出其中有些元素可能具有相同的污染源。這樣可以驗(yàn)證問題三的模型是否可行。這里通過 matlab編程得到其相關(guān)性矩 陣 R 為 21 R 矩陣橫向排序?yàn)?As， Cd,， Cr， Cu， Hg， Ni， Pb， Zn；縱向排序?yàn)?As， Cd,，Cr， Cu， Hg， Ni， Pb， Zn。由 R 矩陣可知 Cr 與 Ni 相關(guān)性系數(shù)為 ， Pb與 Cd 的相關(guān)性系數(shù)為 ，理論上可判為有同一污染源點(diǎn)。在問題三的求解結(jié)果中 Ni 的一個(gè)污染點(diǎn)（ 22193,12185）與 Cr 的一個(gè)污染源點(diǎn)（ 20554,11228）相近。 Pb 的一個(gè)污染源點(diǎn)（ 5394,8631）與 Cd 的一個(gè)污染源點(diǎn)（ 5734,9659）相近。符合相關(guān)性的判斷規(guī)律。這證明了模型的可行性與可靠性。 的分析和求解 分析 優(yōu)點(diǎn)： 本模型參考水流模型、 大氣擴(kuò)散模型，比較合理地模擬重金屬在該城區(qū)內(nèi)的擴(kuò)散。通過對(duì)模型的簡化，比較簡單的將模型轉(zhuǎn)化為二維偏微分方程。 由于遺傳算法具有極好的全局優(yōu)化性能 ,減少了陷入局部極值的風(fēng)險(xiǎn) ,特別對(duì)非線性優(yōu)化問題具有很強(qiáng)的適應(yīng)性 。 傳統(tǒng)的反演方法在源強(qiáng)和濃度的關(guān)系上 ,只能給出一種虛擬的聯(lián)系 ,而遺傳算法可以給出較為直接的關(guān)系 ,可以在很大的程度上 ,減少對(duì)大量的小源和不確定性污染源調(diào)查的工作量 ,從而為污染預(yù)報(bào)和污染控制提供了基礎(chǔ)。 用遺傳算法來反演 ,方法 簡單 且通用性強(qiáng)。 缺點(diǎn) ： 由于不考慮模型里的對(duì)流項(xiàng)以及海拔上面的影響，導(dǎo)致其 自身的確定誤差較大，其次遺傳算法本身就是一個(gè)枚舉算法，算法在運(yùn)行的過程中具有隨機(jī)性，導(dǎo)致求出的污染點(diǎn)的分布不是完全符合，但具有穩(wěn)定的收斂性，是可以接受的。 優(yōu)化 在考慮擴(kuò)散方程時(shí)，若能加入對(duì)流項(xiàng)及垂直方向上的擴(kuò)散影響，這樣可以增加擴(kuò)散方程的精度型，進(jìn)而可以增加模型利用遺傳算法的求解精度。其次，如能提供該地區(qū)具體的工業(yè)排放區(qū)及交通要道等的具體密集情況，進(jìn)一步減小污染源位置的范圍和個(gè)數(shù)的初始值，提高遺傳算法得出的污染源的具體位置的準(zhǔn)確性。 22 參考文獻(xiàn) [1] 金昌市城區(qū)土壤重金屬空間 分布及潛在生態(tài)危害評(píng)價(jià) 黃璜 ,南忠仁 ,胡小娜 ,劉曉文 ,李媛 ,丁海霞 環(huán)境監(jiān)測管理與技術(shù) 2020年 10月 第 21卷 第 5期 [2] 大氣污染物擴(kuò)散模型應(yīng)用研究 王寒梅 , 賈軼然 遼寧師專學(xué)報(bào) 2020年 6月 第 8卷第 2期 [3] 對(duì)流 擴(kuò)散方程源項(xiàng)識(shí)別反問題的遺傳算法 閔濤 , 周孝德 , 張世梅 , 馮民權(quán)水動(dòng)力學(xué)研究與進(jìn)展 2020年 7月 A 輯第 19卷第 4 期 [4] 熱傳導(dǎo)方程有限差分法的 MATLAB實(shí)現(xiàn) 史策 咸陽師范學(xué)院學(xué) 報(bào) 2020年 7月 第 24卷 第 4期 [5] 二維穩(wěn)態(tài)對(duì)流 — 擴(kuò)散方程參數(shù) 反演的迭代算法 閔濤，劉相國，張海燕，艾克鋒 水動(dòng)力學(xué)研究與進(jìn)展 2020年 11月 A 輯第 22卷第 6期 23 附錄 %相關(guān)性分析程序 num=xlsread(39。39。)。 L=zeros(319,8)。 for i=1:8 L(:,i)=num(:,i+1)。 end L(:,2)=L(:,2)/1000。 L(:,5)=L(:,5)/1000。 R1=zeros(8,8)。 R2=zeros(8,8)。 R3=zeros(8,8)。 R4=zeros(8,8)。 R5=zeros(8,8)。 for i=1:8 for j=1:8 M=corrcoef(L(1:44,i),L(1:44,j))。 R1(i,j)=M(1,2)。 end end for i=1:8 for j=1:8 M=corrcoef(L(45:80,i),L(45:80,j))。 R2(i,j)=M(1,2)。 end end for i=1:8 for j=1:8 M=corrcoef(L(81:146,i),L(81:146,j))。 R3(i,j)=M(1,2)。 end end for i=1:8 for j=1:8 M=corrcoef(L(147:284,i),L(147:284,j))。 R4(i,j)=M(1,2)。 end end for i=1:8 for j=1:8 24 M=corrcoef(L(285:319,i),L(285:319,j))。 R5(i,j)=M(1,2)。 end end [v1 d1]=eig(R1)。 [v2 d2]=eig(R2)。 [v3 d3]=eig(R3)。 [v4 d4]=eig(R4)。 [v5 d5]=eig(R5)。 R1 v1 d1 R2 v2 d2 R3 v3 d3 R4 v4 d4 R5 v5 d5