數字信號處理第二章(編輯修改稿)

　

【文章內容簡介】 znxznxzXR e [ z ]I m [ z ]xR?0回到本節 返回 上式右邊： 第一項是有限序列的 Z變換，收斂域為 0 ≤ |z|∞ 。 第二項為因果序列的 Z變換，其收斂域為 Rx|z|≤∞ 。 將兩個收斂域相與，得到它的收斂域為 Rx|z|∞ 。 如果 x(n)是因果序列，即設 n1≥0 ，它的收斂域為 Rx |z|≤∞ 。 回到本節 返回 ? 左序列 Z變換的收斂域 與右序列類似，左序列是 指 x(n)只在 n≤ n1序列值不全為 零，在其他的區間均為零的序列。 左序列的 Z變換為 式中， n1≥0 。 ?????????????? ??? 1101)()()()(nnnnnnnn znxznxznxzXR e [ z ]I m [ z ]xR ?0回到本節 返回 上式右邊： 第一項的收斂域為 0 ≤ |z|Rx+， 第二項的收斂域為 0|z|≤∞ ， 將兩個收斂域相與，得到左序列的收斂域為 0|z| Rx+ 。 如果 n10，則收斂域為 0 ≤ |z|Rx+。 回到本節 返回 ? 雙邊序列 Z變換的收斂域 雙邊序列就是在 ∞ ～ +∞ 之間均有非零值的序列。 雙邊序列的 Z變換 ??? ????????????? ???01)()()()(nnnnnn znxznxznxzXR e [ z ]I m [ z ]xR ?0xR ?回到本節 返回 上式中： 右邊第一項是左序列的 Z變換，收斂域是 0≤ |z|Rx+， 第二項是右序列的 Z變換，收斂域為 Rx|z|≤∞ ， 將兩個域相與，得到雙邊序列的收斂域為 Rx|z|Rx+。 這幾種序列 的收斂域對 比可以見書 中表 。 回到本節 返回 例 ：設 ，求它的 Z變換，并確定收斂域。 解 : 為使 X(z)收斂，要求 ，即 ，解得 ，這樣得到 就是該 Z變換的收斂域。 ( ) ( )nx n a u n?10( ) ( ) ( )n n nnnX z a u n z a z????? ? ? ?????10nnaz??????1 1az? ?za?11()1Xz az ?? ? za?za?回到本節 返回 例 ：求 的 Z變換及其收斂域。 解 : 這是一個左序列，當 時，序列值為零。 如果 X(z)存在，則要求 ，得到收斂域為 。在收 斂域中，該 Z變換為 ( ) ( 1 )nx n a u n? ? ? ?≥0n 11( ) ( 1 )n n n n n nn n nX z a u n z a z a z? ? ? ?? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?? ? ?1 1az? ? za?111111)( ????????azzazazX az ?我們將例 ， 兩者 Z變換的函數表達式一樣，但收斂域卻不相同，對應的原序列也不同 ，因此正確地確定收斂域是很重要 。 回到本節 返回 逆 Z變換 已知序列的 Z變換及其收斂域 ， 求原序列 ， 稱為逆 Z變 換 (IZT)。 求逆 Z變換有三種方法 : ① 部分分式展開法： 有理分式展成簡單部分分式，查表。 ① 圍線積分法： 常用方法，重點介紹 ③ 冪級數法： 原理簡單，使用不便，本書不介紹 回到本節 返回 ① 部分分式法 原理是將 Z變換的有理分式展成簡單的部分分式， 通過查表得到原序列。 假設 X(z)有一個一階極點，可展開如下的部分分式： 觀察上式， X(z)/z在 z=0的極點，留數等于系數 A0，在 z=zm 的極點，留數等于系數 Am，即 ?? ???Nm mmzzzAAzX10)(?? ??? Nm mmzzAzAzzX10)(見書中 表 回到本節 返回 這樣，將上面的兩式帶入由 X(z)展開得到的部分分式中 去，在通過查表（書中表 ）就能夠得到原序列。 但 我們知道收斂域不同，即使同一個 z函數也可以有不 同的原序列對應，因此根據給定的收斂域，應正確地確 定每個分式的收斂域，這樣才能得到正確的原序列。 ??????? 0,)(Re0 zzXsA??????? mm zz zXsA ,)(Re回到本節 返回 ② 圍線積分法 已知序列大的 Z變換和收斂域，求原序列的公式為 式中， c是 X(z)的收斂域中的一條包含原點的逆時針旋轉 的封閉曲線 ，如下圖所示。 ),()(2 1)( 1 ??? ?? ? xxc n RRcdzzzXjnx ?回到本節 返回 直接計算圍線積分比較麻煩，下面介紹 用留數定理求逆 Z 變換的方法 ： 令 ， F(z)在圍線 c內的極點用 表示， 假設有 M個極點。根據留數定理 式中， 表示被積函數 F(z)在極點 的留數。 求 逆 Z變換就是求圍線 c內所有極點的留數之和 。 如果極點是單階極點，根據留數定理，極點 的留數 用下式計算 1( ) ( ) nF z X z z ?? kz? ?? ???? cMkkzzFsdzzFjnx1),(Re)(2 1)( ?R e s[ ( ), ]kF z zkzkzR e s [ ( ) , ] ( ) ( ) kk k z zF z z z z F z ???回到本節 返回 如果極點 是 N階極點，根據留數定理，極點的留數 用下式計算 上式表明求多階極點的留數比較麻煩，可以根據留數輔助 定理改求圍線 c以外的極點的留數之和，使問題簡單化。 如果 F(z)在 Z平面上有 N個極點，圍線 c內有個極點， 用表示，圍線 c外有 個極點，用 表示， 。根據 留數輔助定理下式成立 kz111dR e s [ ( ) , ] [ ( ) ( ) ]( 1 ) ! d kNNk k z zNF z z z z F zN z??????1kz2kz2N 12N N N??121211R e s [ ( ) , ] R e s [ ( ) , ]NNkkkkF z z F z z??????回到本節 返回 上式成立的條件是原序列公式中，被積函數 分母的階次比分子的階次高二階或二階以上。 假設 ， P(z)和 Q(z)分別是 z的 N階和 M階多項 式，那么上式成立的條件是 或者 這樣，在求逆 Z變換時，如果上面條件滿足，圍線 c內有多 階極點，可以利用上式，改求圍線 c外的極點的留數之和。 1( ) ( ) nF z X z z ??( ) ( ) / ( )X z Q z P z?1 ≥ 2N M n? ? ?≤1n N M??回到本節 返回 21111()2 ( 1 ) ( 1 )ncax n z d zj a z a z????????解 ：221111 ( 1 )()( 1 ) ( 1 ) ( ) ( ) c X ( z )nna a zF z za z a z a z a z a???????? ? ? ?其 中 ：為 收 斂 域 內 閉 合 圍 線1( ) ,X z z a a ??而 題 中 未 給 出 收 斂 域 ， 根 據 的 極 點有 三 種 可 能 的 收 斂 域 ：111 ) 2) 3 ) zazaa