20xx年高考數學名校預測試題［26專題］(編輯修改稿)

　

【文章內容簡介】 恒成立， 1)0( ??f 設 0?x ，則 0??x ，由 1)()())(( ????? xfxfxxf 得)(1)( xfxf ??， ?當 0?x 時， 1)(1,1)(0 ??? xfxf ?當 0?x 時 , 0??x , 1)(1)( ??? xfxf 第 13 頁 共 165 頁 （ 2）證法一： 設 21 xx? ，則 012 ??xx ， )()()[()( 1121122 xfxxfxxxfxf ????? 1)(00 1212 ?????? xxfx? ? ),()()( 1112 xfxfxxf ?? )()( 21 xfxf ?? ,函數為減函數 證法二： 設 21 xx? ，則 ])[()()()( 112121 xxxfxfxfxf ????? ?? )( 1xf )()( 112 xfxxf ? = )(1xf )](1[ 12 xxf ?? 1)(00 1212 ?????? xxfxx? , 0)(,0)](1[ 112 ????? xfxxf 故 ?? )()( 21 xfxf )(1xf 0)](1[ 12 ??? xxf )()( 21 xfxf ?? ,函數為減函數 （ 3）解： ∵ )1()()( 22 fyfxf ? ， 1)2( ??? yaxf ∴ 02,122 ????? yaxyx 若 ???BA ，則圓心 )0,0( 到直線的距離應滿足 1122 ??? ad，解之得 32?a ， 33 ???? a 變式：已知定義在 R上的函數滿足： ? ? ? ? ? ?f x y f x f y? ? ?，當 x＜ 0時， f x( )?0 。 （ 1）求證： f x() 為奇函數；（ 2）求證： f x() 為 R上的 增函數； （ 3）解關于 x的不等式： ? ? ? ?f ax f x f a x f a2 22 2? ? ?( ) ( )。（其中 a?0 且 a為常數） 解：（ 1）由 ? ? ? ? ? ?f x y f x f y? ? ?，令 x y? ?0 ，得： f f f( ) ( ) ( )0 0 0? ? ，即 f( )0 0? 再令 x y? ?0 ，即 y x?? ，得： f f x f xf x f x( ) ( ) ( )( ) ( )0 ? ? ?? ? ? ? ?f x( ) 是奇函數?????? 4分 （ 2）設 x x R1 ? ，且 x x1 2? ，則 x x1 2 0? ? 由已知得： ? ?f x x1 2 0? ? 第 14 頁 共 165 頁 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?? ?f x x f x f x f x f xf x f x1 2 1 2 1 21 20 即 f x() 在 R上是增函數?????? 8分 （ 3） ? f ax f a f a x f x( ) ( ) ( ) ( )2 22 2? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?f ax a f a x x2 22 2 ? ? ? ?ax a a x x2 22 2 即 ? ?ax a x a2 2 2 2 0? ? ? ? ? ?? a x a a xx a x a? ? ???? ??? ? ?? ???? ??? ? ?0 2 2 02 02， 當 2a a? ，即 a? 2 時，不等式解集為 x xa x a| ? ???? ???2 或 當 2a a? ，即 a? 2 時，不等式解集為 ? ?x x| ? 2 當 2a a? ，即 0 2? ?a 時，不等式解集為 x x a xa| ? ???? ???或 2?????? 13分 【范例 2】 已 知 f(x)= 222??x ax(x∈ R)在區間 [－ 1， 1]上是增函數 .，（ 1）求實數 a的值組成的集合 A； （ 2）設關于 x的方程 f(x)=x1 的兩個非零實根為 x ：是否存在實數 m，使得不等式 m2+tm+1≥ |x1－ x2|對任意 a∈ A及 t∈ [－ 1， 1]恒成立？若存在，求 m的取值范圍；若不存在，請說明理由 . 解：（ 1） f＇ (x)=222)2( 224 ???x xax= 222)2( )2(2 ? ??? x axx， [來源 :狀167。元167。源 ] ∵ f(x)在 [－ 1， 1]上是增函數， ∴ f＇ (x)≥ 0對 x∈ [－ 1， 1]恒成立， 即 x2－ ax－ 2≤ 0對 x∈ [－ 1， 1]恒成立 . ① 設 ? (x)=x2－ ax－ 2， ① (1 )= 1 a2 0(1 )= 1 + a2 0?? ??? ? ?? ? － 1≤ a≤ 1， ∵對 x∈ [－ 1， 1]， f(x)是連續函數，且只有當 a=1時， f＇ (1)=0以及當 a=－ 1時， f＇ 第 15 頁 共 165 頁 (1)=0 ∴ A={a|－ 1≤ a≤ 1}. （ 2）由222??x ax=x1，得 x2－ ax－ 2=0， ∵△ =a2+80 ∴ x1， x2是方程 x2－ ax－ 2=0的兩非零實根， x1+x2=a， ∴ 從而 |x1－ x2|= 21221 4)( xxxx ?? = 82?a . x1x2=－ 2， ∵－ 1≤ a≤ 1，∴ |x1x2|= 82?a ≤ 3. 要使不等式 m2+tm+1≥ |x1－ x2|對任意 a∈ A及 t∈ [－ 1， 1]恒成立， 當且僅當 m2+tm+1≥ 3對任意 t∈ [－ 1， 1]恒成立， 即 m2+tm－ 2≥ 0對任意 t∈ [－ 1， 1]恒成立 . ② 設 g(t)=m2+tm－ 2=mt+(m2－ 2)， 方法一： g(－ 1)=m2－ m－ 2≥ 0， ② ? g(1)=m2+m－ 2≥ 0， [來源 :狀 *元 *源 Z*y*y*100K] ? m≥ 2或 m≤－ 2. 所以，存在實數 m，使不等式 m2+tm+1≥ |x1－ x2|對任意 a∈ A及 t∈ [－ 1， 1]恒成立，其取值范圍是 {m|m≥ 2，或 m≤－ 2}.[來源 狀。元。源 網 ] 方法二： 當 m=0時，②顯然不成立； 當 m≠ 0時， m0， m0， ② ? 或 g(－ 1)=m2－ m－ 2≥ 0 g(1)=m2+m－ 2≥ 0 ? m≥ 2或 m≤－ 2. 所以，存在實數 m，使不等式 m2+tm+1≥ |x1－ x2|對任意 a∈ A及 t∈ [1， 1]恒成立，其取值范圍是 {m|m≥ 2，或 m≤－ 2}. 【點晴】利用導數研究函數的單調 性和最值 .在解決函數綜合問題時要靈活運用數學思想和方法化歸為基本問題來解決 . 變式：設函數 ? ? 11axfx x ?? ? ，其中 aR? （ 1）解不等式 ? ? 1fx?? [來源 :Z*xx*] （ 2）求 a 的取值范圍，使 ??fx在區間 ? ?0,?? 上是單調減函數。 解：（ 1）不等式 ? ? 1fx?? 即為 ? ?11 1011axaxxx?? ? ? ? ???[來源 :] 當 1a?? 時，不等式解集為 ? ? ? ?, 1 0,?? ? ?? 第 16 頁 共 165 頁 當 1a?? 時，不等式解集為 ? ? ? ?, 1 1,?? ? ? ?? 當 1a?? 時，不等式解集為 ? ?1,0? （ 2）在 ? ?0,?? 上任取 12xx? ，則 ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?1212121 2 1 21111 1 1 1a x xa x a xf x f x x x x x????? ? ? ?? ? ? ? 1 2 1 2 1 20 0 , 1 0 , 1 0x x x x x x? ? ? ? ? ? ? ? ? 所以要使 ??fx在 ? ?0,?? 遞減即 ? ? ? ?120f x f x??，只要 10a?? 即 1a?? 故當 1a?? 時， ??fx在區間 ? ?0,?? 上是單調減函數。 【范例 3】 已知函數 ()fx的定義域為 [0,1] ，且同時滿足：① (1) 3f ? ；② ( ) 2fx? 恒成立；③若 1 2 1 20 , 0 , 1x x x x? ? ? ?，則有 1 2 1 2( ) ( ) ( ) 2f x x f x f x? ? ? ?． （ 1）試求函數 ()fx的最大值和最小值； （ 2）試比較 1()2nf與 1 22n?的大小 (n? N）； （ 3）某人發現：當 x=12n(n?N)時，有 f(x)2x+：對一切 x?(0,1] ,都有( ) 2 2f x x??，請你判斷此猜想是否正確，并說明理由． 解 : (1)設 0≤ x1x2≤ 1,則必存在實數 t?(0,1),使得 x2=x1+t, 由條件③得 ,f(x2)=f(x1+t)?f(x1)+f(t)2, ∴ f(x2)f(x1)?f(t)2, 由條件②得 , f(x2)f(x1)?0, 故 當 0≤ x≤ 1時 ,有 f(0)≤ f(x)≤ f(1). 又在條件③中 ,令 x1=0,x2=1,得 f(1)?f(1)+f(0)2,即 f(0)≤ 2,∴ f(0)=2, 故函數 f(x)的最大值為 3,最小值為 2. (2)解 :在條件③中 ,令 x1=x2=12n,得 f( 12n1)?2f(12n)2,即 f(12n)2≤ 12[f( 12n1)2], 故當 n?N*時，有 f(12n)2≤ 12[f( 12n1)2]≤ 122[f( 12n2)2]≤178。178。178。≤ 12n[f(120)2]=12n, 即 f(12n)≤ 12n+2. 又 f(120)=f(1)=3≤ 2+120, 所以對一切 n?N,都有 f(12n)≤ 12n+2. [來源 Zamp。] (3)對一切 x?(0,1] ,都有 ( ) 2 2f x x??. 對任意滿足 x?(0,1] ，總存在 n(n?N),使得 第 17 頁 共 165 頁 12n+1x≤ 12n, 根據（ 1）（ 2）結論，可知： f(x)≤ f(12n)≤ 12n+2, 且 2x+22? 12n+1+2=12n+2, 故有 ( ) 2 2f x x??. 綜上所述，對任意 x?(0,1] , ( ) 2 2f x x??恒成立 . 第 18 頁 共 165 頁 第四講 導數及其應用 ★★★ 高考在考什么 【考題回放】 1 ．已知對任意實數 x ，有 ( ) ( ) ( ) ( )f x f x g x g x? ? ? ? ?，且 0x? 時，( ) 0 ( ) 0f x g x????， ，則 0x? 時（ B ） A． ( ) 0 ( ) 0f x g x????， B． ( ) 0 ( ) 0f x g x????， C． ( ) 0 ( ) 0f x g x????， D． ( ) 0 ( ) 0f x g x????， 2．曲線 12exy? 在點 2(4 e)， 處的切線與坐標軸所圍三角形的面積為（ D ） Ａ． 29e2 Ｂ． 24e Ｃ． 22e Ｄ． 2e 3．設 2: ( ) e l n 2 1xp f x x x m x? ? ? ? ?在 (0 )??， 內單調遞增， :5qm?≥ ，則 p 是 q 的（ B ） Ａ．充分不必要條件 Ｂ．必要不充分條件 [來源 :Z ] Ｃ．充分必要條件 Ｄ．既不充分 也不必要條件 4．設 ()fx? 是函數 ()fx 的導函數，將 ()y f x? 和 ()y f x?? 的圖象畫在同一個直角坐標系中，不可能正確的是（ D ） [來源 :狀 .元 .源 ] 5． 函數 ( ) ln ( 0)f x x x x??的單調遞增區間是 ＿＿＿＿． 1,e???????? 6．若 直線 y=x是曲線 y=x33x2+ax的切線，則 a= ； [來源 :狀元源 ] ★★★ 高考要考什么 第 19 頁 共 165 頁 1． 導數的定義：00 0 0 0 00 000( ) ( ) ( ) ( ) ( 2 ) ( )( ) l im l im l im 2x x x xf x x