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數學分析課程教學要求及考試大綱(編輯修改稿)

2026-07-04 20:21 本頁面

　

【文章內容簡介】理解區間套定理、聚點定理，致密性定理，了解有限覆蓋定理的證明。理解柯西收斂準則及其證明，會用它來討論數列極限。2了解實數完備性基本定理的等價性。3 理解閉區間上連續函數性質的證明，并掌握這些性質的應用。4 了解上極限與下極限。第八章不定積分主要內容原函數與不定積分概念,基本積分表,線性運算法則。換元積分法，分部積分法。有理函數的不定積分,三角函數有理式的不定積分,某些無理函數的不定積分。考查點及目標層次1 深刻理解原函數與不定積分的概念。2 熟練掌握不定積分的性質、運算法則、不定積分的基本公式。 4 會求有理函數、三角函數有理式及簡單無理函數的積分。第九章定積分主要內容概念引入（曲邊梯形面積與變力作功），定積分定義，定積分的幾何意義。牛頓－萊布尼茲公式。可積的必要條件，可積的充要條件，可積函數類：閉區間上的連續函數、只有有限個間斷點的有界函數、單調函數。定積分的基本性質，積分中值定理。變限積分與原函數的存在性，微積分學基本定理、定積分的換元積分法和分部積分法。可積性理論補敘考查點及目標層次1 深刻理解定積分概念,掌握構造積分和與積分和極限的意義。2 理解可積的必要條件，了解可積的充要條件以及幾種可積函數類，并記注相關的條件和結論3 理解定積分的基本性質：線性性質、函數乘積的可積性、關于積分區間的可加性、不等式性質、絕對可積性、積分第一中值定理，并能應用這些性質進行一些有關的證明。4 了解積分第一中值定理，知道積分第二中值定理、積分型余項和柯西型的泰勒公式。5 深刻理解變限積分、微積分學基本定理。熟練掌握變限積分的求導運算。6 熟練掌握牛頓—萊布尼茲公式、定積分的換元法和分部積分法。7 知道大和與小和的性質、可積的充要條件的證明。第十章定積分的應用主要內容微元法。平面圖形的面積。由平行截面面積求體積，旋轉體體積。平面曲線的弧長、曲率。旋轉曲面的面積。定積分在物理中的某些應用。定積分的近似計算考查點及目標層次1 掌握“微元法”，會應用“微元法”解決一些有關定積分的實際問題。 2 熟練掌握應用定積分求平面圖形的面積，掌握應用定積分求體積、平面曲線的弧長，旋轉曲面的面積。3 了解定積分在物理上的應用：變力作功、液體靜壓力，引力、功與平均功率。4 了解定積分的近似計算。5 知道曲率和曲率半徑的概念，會計算曲率和曲率半徑。第十一章反常積分主要內容問題的提出，兩類反常積分(無窮積分，無界函數的反常積分或瑕積分)的定義。柯西收斂準則，無窮積分的性質，比較判別法，絕對收斂與條件收斂，狄利克雷判別法，阿貝爾判別法。瑕積分的性質與收斂判別。考查點及目標層次1 理解無窮積分和瑕積分的收斂與發散概念、絕對收斂和條件收斂的概念。2 掌握無窮積分和瑕積分的性質和各種斂散性判別方法。3 會應用斂散性的定義、性質及判別方法計算兩類反常積分和證明兩類反常積分有關的問題。第十二章數項級數主要內容數項級數極其收斂與和的定義，柯西收斂準則，收斂級數的基本性質。正頂級數收斂性的一般判別原則（比較原則），比式判別法與根式判別法，積分判別法。拉貝判別法。交錯級數，萊布尼茲判別法，絕對收斂級數與性質，條件收斂，阿貝爾判別法與狄利克雷判別法。考查點及目標層次1 深刻理解數項級數收斂、發散和的概念，以及收斂級數的基本性質。2 理解級數絕對收斂與條件收斂的概念，了解絕對收斂級數的性質。3 熟練掌握正頂級數收斂性的比較原則，比式判別法與根式判別法，并記注幾何級數與P級數的收斂性。4 掌握交錯級數的萊布尼茲判別法，會用其它判別法。

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