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空間向量的標準正交分解與坐標表示、空間向量基本定理課件北師大版選修(編輯修改稿)

2026-07-09 19:01 本頁面

　

【文章內容簡介】， BO ＝ 2 ， AA 1 ＝ 4 ， D 為 A 1 B 1 的中點，在如圖所示的空間直角坐標系中，求 DO 、1AB的坐標．解： ( 1) ∵ DO ＝－ OD ＝－ (1OO＋1OD) ＝－ [1OO＋12( OA ＋ )] ＝－1OO－12OA －12＝－ 4k － 2 i － j . ∴ DO ＝ ( － 2 ，－ 1 ，－ 4) ． ( 2) ∵1AB＝－1OA＝－ ( OA ＋1AA) ＝－ OA －1AA＝ 2j － 4 i － 4 k . ∴1AB＝ ( － 4,2 ，－ 4) . [ 例 2] 如圖，已知單位正方體 ABCD －A ′ B ′ C ′ D ′ .求： (1) 向量 CA ? 在 CD 上的投影； (2) CD 是單位向量，且垂直于平面A DD ′ A ′ ，求向量 CA ? 在 DC 上的投影． [ 思路點撥 ] a 在 b 上的投影為 | a | c os 〈 a ， b 〉，只要求出 | a| 及〈 a ， b 〉即可． [ 精解詳析 ] ( 1) 法一：向量 CA ? 在 CD 上的投影為| CA ? | c os 〈 CA ? ， CD 〉，又正方體棱長為 1 ， ∴ | CA ′ |＝ 12＋ 12＋ 12＝ 3 ， ∴ | CA ? |＝ 3 ， ∠ D CA ′ 即為 CA ? 與 CD 的夾角，在 Rt △ A ′ CD 中， c os ∠ A ′ CD ＝13＝33， ∴ CA ? CA ? 在 CD 上的投影為 | CA ? | c os 〈 CA ? ， CD 〉＝ 3 33＝ 1. 法二：在正方體 ABCD － A ′ B ′ C ′ D ′ 中， DC ⊥ AD ，〈 CA ? ， CD 〉＝ ∠ D CA ′ . ∴ CA ? 在 CD 上的投影為： | CA ? | c os 〈 CA ? ， CD 〉＝ | CA ? | c os ∠ DCA ′ ＝ | CD |＝ 1. ( 2) CA ? 與 DC 的夾角為 180176。－ ∠ A ′ CD ， ∴ CA ? 在 DC 上的投影為 | CA ? | c os ( 180176。－ ∠ A ′ CD ) ＝－ | CA ? | c os ∠ D ′ CA ＝－ 1. [ 一點通 ] ( 1) 求向量 a 在向量 b 上的投影，可先求出 |a| ，再求出兩個向量 a 與 b 的夾角，最后計算 |a| c os 〈 a ， b 〉，即為向量 a 在向量 b 上的投影，它可正、可負，也可以為零；也可以利用幾何圖形直觀轉化求解． ( 2) 在確定向量的夾角時要注意向量的方向，如本題中〈 CA ? ， CD 〉與〈 CA ? ， DC 〉是不同的，其和為 π. 4 ．已知 i ， j ， k 為標準正交基， a ＝ i ＋ 2 j ＋ 3 k ，則 a 在 i 方向上的投影為 ( ) A ． 1 B ．－ 1 C. 14 D ．－ 14 解析： a i ＝ |a||i | c os 〈 a ， i 〉 , ∴

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