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二次函數與等腰三角形直角三角形的綜合(編輯修改稿)

2026-07-13 01:12 本頁面

　

【文章內容簡介】形．8．（2010鄂州）如圖，在直角坐標系中，A（1，0），B（0，2），一動點P沿過B點且垂直于AB的射線BM運動，P點的運動速度為每秒1個單位長度，射線BM與x軸交與點C．（1）求點C的坐標．（2）求過點A、B、C三點的拋物線的解析式．（3）若P點開始運動時，Q點也同時從C出發，以P點相同的速度沿x軸負方向向點A運動，t秒后，以P、Q、C為頂點的三角形為等腰三角形．（點P到點C時停止運動，點Q也同時停止運動）求t的值．（4）在（2）（3）的條件下，當CQ=CP時，求直線OP與拋物線的交點坐標．解：（1）點C的坐標是（4，0）；（2）y= x2+x+2．（3）設P、Q的運動時間為t秒，則BP=t，CQ=t．以P、Q、C為頂點的三角形為等腰三角形，可分三種情況討論．①若CQ=PC，如圖所示，則PC= CQ=BP=t．∴有2t=BC=，∴t=．②若PQ=QC，如圖所示，過點Q作DQ⊥BC交CB于點D，則有CD=PD．由△ABC∽△QDC，可得出PD=CD=，∴，解得t=．③若PQ=PC，如圖所示，過點P作PE⊥AC交AC于點E，則EC=QE=PC，∴t=（t），解得t=．（4）當CQ=PC時，由（3）知t=，∴點P的坐標是（2，1），∴直線OP的解析式是：y=x，因而有x =x2+x+2，即x22x4=0，解得x=1177。，∴直線OP與拋物線的交點坐標為（1+，）和（1，）．（2011潼南縣）如圖，在平面直角坐標系中，△ABC是直角三角形，∠ACB=90，AC=BC，OA=1，OC=4，拋物線y=x2+bx+c經過A，B兩點，拋物線的頂點為D．（1）求b，c的值；（2）點E是直角三角形ABC斜邊AB上一動點（點A、B除外），過點E作x軸的垂線交拋物線于點F，當線段EF的長度最大時，求點E的坐標；（3）在（2）的條件下：①求以點E、B、F、D為頂點的四邊形的面積；②在拋物線上是否存在一點P，使△EFP是以EF為直角邊的直角三角形？若存在，求出所有點P的坐標；若不存在，說明理由．解：（1）由已知得：A（﹣1，0），B（4，5），∵二次函數y=x2+bx+c的圖象經過點A（﹣1，0），B（4，5），∴，解得：b=﹣2，c=﹣3；（2）如圖：∵直線AB經過點A（﹣1，0），B（4，5），∴直線AB的解析式為：y=x+1，∵二次函數y=x2﹣2x﹣3，∴設點E（t，t+1），則F（t，t2﹣2t﹣3），∴EF=（t+1）﹣（t2﹣2t﹣3）=﹣（t﹣32）2+254，∴當t=32時，EF的最大值為254，∴點E的坐標為（32，52）；（3）①如圖：順次連接點E、B、F、D得四邊形EBFD．可求出點F的坐標（32，），點D的坐標為（1，﹣4）S四邊形EBFD=S△BEF+S△DEF=1

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