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函數單調性的應用畢業論文(編輯修改稿)

2026-07-15 20:37 本頁面

　

【文章內容簡介】拋物線在時，函數有最大值，即在上為單調遞增函數。指數函數單調性的判別指數函數的一般解析式,其中且過點（0,1）。其中當時，函數在定義域內為單調遞減函數,其中當時，函數在定義域內為單調遞增函數。時，的值越小函數值下降越快；時，的值越大數值增加越快。對數函數單調性的判別對數函數的一般解析式,其中且過點。其中當時，函數在定義域內為單調遞減函數，其中當時，函數在定義域內為單調遞增函數。當時,的值越小函數值下降越快；當時,的值越大函數值增加越快。高等數學中利用導數判別函數單調性設函數在的某個鄰域內有定義，當自變量在處取得增量（在點仍在鄰域內）時，相應地函數取得增量；如果與之比，在時的極限存在，這稱函數在點處可導，并且稱這個極限為函數在點處的導數，記為，即。導數體現在單調性上就是導數的幾何意義：函數在點的導數在幾何上表示曲線在點處的切線的斜率，即，其中是切線的的傾角。也就是說若導數大于零，則函數單調增加，若導數小于零，則函數單調減小。例1 求證：當時。證明：令，則，則故在上單調遞增，從而當時，，于是在上單調遞增，即。函數單調性的解題應用單調性在求極值、最值中的應用一元函數的極值極值定義：一般地，若函數在點的某領域內對一切有則稱函數在點取得極大值，是極大值點。函數在點的某領域內對一切有，則稱函數在點取得極小值，是極小值點。極大值與極小值統稱為極值。極大值點、極小值點統稱為極值點。例1 設為實數,函數 (1)求的極值。(2)當在什么范圍內取值時,曲線軸僅有一個交點。解：(1)，若=0，則。當變化時，變化情況如下表：(－∞，－)－(－，1)1(1，+∞)+0－0+極大值極小值∴的極大值是，極小值是(2)函數由此可知，取足夠大的正數時，有，取足夠小的負數時有，所以曲線與軸至少有一個交點。結合的單調性可知：當的極大值，即時，它的極小值也小于0，因此曲線與軸僅有一個交點，它在上。當的極小值－10即時，它的極大值也大于0，因此曲線=與軸僅有一個交點，它在上。所以，當∪時，曲線=與軸僅有一個交點。例2 設函數，已知是奇函數。（1）求、的值。（2）求的單調區間與極值。解：（1）∵，∴,從而即是一個奇函數,所以得，由奇函數定義得；（2）由（1）知從而，令=0，解得，由。由此可知,函數的單調遞增區間是和；單調遞減區間是；進而得在時，取得極大值，極大值為，在時，取得極小值，極小值為。對于二元函數在點的某鄰域內有二階的連續偏導數。令。（1）當時，函數在處有極值，且當時有極小值；時有極大值；（2）當時，函數在處沒有極值；（3）當時，函數在處可能有極值，也可能沒有極值。如果函數具有二階連續偏導數，則求的極值的一般步驟為：第一步解方程組，求出的所有駐點；第二步求出函數的二階偏導數，依次確定各駐點處、的值，根據的符號判定駐點是否為極值點. 最后求出函數在極值點處的極值。例3 設是由確定的函數，求的極值點和極值。解：因為，所以令得故將其代入，可得或由于所以，，故，又，從而點是的極小值點，極小值為。類似地，由，可知，又，從而點是的極大值點，極大值為。（拉格朗日數乘法）拉格朗日數乘法：設二元函數和在區域內有一階連續偏導數，則求在內滿足條件的極值問題，可以轉化為求拉格朗日函數（其中為某一常數）的無條件極值問題。于是，求函數在條件的極值的拉格朗日乘數法的基本步驟為：（1）構造拉格朗日函數其中為某一常數；（2）由方程組解出，，其中點就是所求條件極值的可能的極值點。拉格朗日數乘法只給出函數取極值的必要條件，因此按照這種方法求出來的點是否為極值點，還需要加以討論。不過在實際問題中，往往可以根據問題本身的性質來判定所求的點是不是極值點。例5 經過點的所有平面中，哪一個平面與坐標面在第一卦限所圍的立體的體積最小．并求此最小體積。解：設所求平面方程為因為平面過點，所以該點坐標滿足此平面方程，即有 (1)設所求平面與三個坐標平面所圍立體的體積為V，則　　　　　　　　　　 (2)原問題化為求目標函數（2）在約束條件（1）下的最小值．作拉格朗日函數 (3)求函數L的各個偏導數，并令它們為0，得方程組：由此方程組和（1）解得a = b = c = 3.由于最小體積一定存在，且函數有惟一的駐點，故為所求，即平面與坐標面在第一卦限所圍物體的體積最小，最小體積為。函數極大值和極小值概念是局部性的．如果是函數的極值點．那只就附近的一個局部范圍來說,是的一個最大值；如果就的整個定義域來說，不一定是最大值。關于極小值也類似。所以在

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