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固體物理習題與答案(編輯修改稿)

2026-07-15 22:23 本頁面

　

【文章內容簡介】三維晶格的光學振動在q=0附近的長波極限有求證：。.＜解＞依據，并帶入上邊結果有、有N個相同原子組成的面積為S的二維晶格，在德拜近似下計算比熱，并論述在低溫極限比熱正比與。證明：在到間的獨立振動模式對應于平面中半徑到間圓環的面積，且則，、寫出量子諧振子系統的自由能，證明在經典極限下，自由能為證明:量子諧振子的自由能為經典極限意味著（溫度較高）應用所以因此其中、設晶體中每個振子的零點振動能為，使用德拜模型求晶體的零點振動能。證明:根據量子力學零點能是諧振子所固有的，與溫度無關，故T=0K時振動能就是各振動模零點能之和。和代入積分有，由于一股晶體德拜溫度為~，可見零點振動能是相當大的，其量值可與溫升數百度所需熱能相比擬．、一維復式格子求（1），光學波，聲學波。（2）相應聲子能量是多少電子伏。（3）在300k時的平均聲子數。（4）與相對應的電磁波波長在什么波段。＜解＞（1），（2）（3）（4）第四章能帶理論、根據狀態簡并微擾結果，求出與及相應的波函數及?，并說明它們的特性．說明它們都代表駐波，并比較兩個電子云分布說明能隙的來源(假設=)。＜解＞令，簡并微擾波函數為取帶入上式，其中 V(x)0,從上式得到B= A,于是=取， = 由教材可知，及均為駐波．在駐波狀態下，電子的平均速度為零．產生駐波因為電子波矢時，電子波的波長，恰好滿足布拉格發射條件，這時電子波發生全反射，并與反射波形成駐波由于兩駐波的電子分布不同，所以對應不同代入能量。、寫出一維近自由電子近似，第n個能帶(n=1，2，3)中，簡約波數的0級波函數。＜解＞第一能帶：第二能帶：第三能帶：、電子在周期場中的勢能． 0 ，其中d＝4b，是常數．試畫出此勢能曲線，求其平均值及此晶體的第一個和第二個禁帶度．＜解＞(I)題設勢能曲線如下圖所示．(2)勢能的平均值：由圖可見，是個以為周期的周期函數，所以題設，故積分上限應為，但由于在區間內，故只需在區間內積分．這時，于是。（3），勢能在[2b,2b]區間是個偶函數，可以展開成傅立葉級數利用積分公式得第二個禁帶寬度代入上式再次利用積分公式有、解：我們求解面心立方，同學們做體心立方。（1）如只計及最近鄰的相互作用，按照緊束縛近似的結果，晶體中S態電子的能量可表示成：在面心立方中，有12個最近鄰，若取，則這12個最近鄰的坐標是：①②③由于S態波函數是球對稱的，在各個方向重疊積分相同，因此有相同的值，簡單表示為J1=。又由于s態波函數為偶宇稱，即∴在近鄰重疊積分中，波函數的貢獻為正∴J1＞0。于是，把近鄰格矢代入表達式得到：=+==（2）對于體心立方：有8個最近鄰，這8個最近鄰的坐標是：、有一一維單原子鏈，間距為a，總長度為Na。求（1）用緊束縛近似求出原子s態能級對應的能帶E(k)函數。（2）求出其能態密度函數的表達式。（3）如果每個原子s態只有一個電子，求等于T=0K的費米能級及處的能態密度。＜解＞(2) ,(3), 、證明一個自由簡單晶格在第一布里淵區頂角上的一個自由電子動能比該區一邊中點大2倍．(b)對于一個簡單立力晶格在第一布里淵區頂角上的一個自由電子動能比該區面心上大多少？(c)(b)的結果對于二價金屬的電導率可能會產生什么影響7＜解

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