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20xx年高考江蘇數(shù)學試題及答案(word解析版)(編輯修改稿)

2026-07-16 08:12 本頁面

　

【文章內(nèi)容簡介】在平面直角坐標系xOy中，分別是橢圓的左、右焦點，頂點B的坐標為，連結(jié)并延長交橢圓于點A，過點A作x軸的垂線交橢圓于另一點C，連結(jié)．（1）若點C的坐標為，且，求橢圓的方程；（2）若，求橢圓離心率e的值．解：（1）∵，∴，∵，∴，∴，∴橢圓方程為．（2）設焦點，∵關(guān)于x軸對稱，∴，∵三點共線，∴，即①∵，∴，即②①②聯(lián)立方程組，解得 ∴C在橢圓上，∴，化簡得，∴, 故離心率為．（18）【2014年江蘇，18，16分】如圖，為保護河上古橋OA，規(guī)劃建一座新橋BC，同時設立一個圓形保護區(qū)．規(guī)劃要求：新橋BC與河岸AB垂直；保護區(qū)的邊界為圓心M在線段OA上并與BC相切的圓，且古橋兩端O和A到該圓上任意一點的距離均不少于80m．經(jīng)測量，點A位于點O正北方向60m處，點C位于點O正東方向170m處(OC為河岸)，．（1）求新橋BC的長；（2）當OM多長時，圓形保護區(qū)的面積最大？．解：解法一：（1）如圖，以O為坐標原點，OC所在直線為x軸，建立平面直角坐標系xOy．由條件知A(0, 60)，C(170, 0)，直線BC的斜率．又因為AB⊥BC，所以直線AB的斜率．設點B的坐標為(a,b)，則kBC=， k AB=，解得a=80，b=120．所以BC=．因此新橋BC的長是150 m．（2）設保護區(qū)的邊界圓M的半徑為r m,OM=d m,(0≤d≤60)．由條件知，直線BC的方程為，即，由于圓M與直線BC相切，故點M(0，d)到直線BC的距離是r，即．因為O和A到圓M上任意一點的距離均不少于80 m，所以，即，解得．故當d=10時,最大，即圓面積最大．所以當OM = 10 m時，圓形保護區(qū)的面積最大．解法二：（1）如圖，延長OA, CB交于點F．因為tan∠BCO=．所以sin∠FCO=，cos∠FCO=．因為OA=60,OC=170，所以OF=OC tan∠FCO=．CF=，從而．因為OA⊥OC，所以cos∠AFB=sin∠FCO=，又因為AB⊥BC，所以BF=AF cos∠AFB==，從而BC=CF－BF=150．因此新橋BC的長是150 m．（2）設保護區(qū)的邊界圓M與BC的切點為D，連接MD，則MD⊥BC，且MD是圓M的半徑，并設MD=r m，OM=d m(0≤d≤60)．因為OA⊥OC，所以sin∠CFO =cos∠FCO，故由（1）知，sin∠CFO =所以．

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