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冪函數中檔題(含答案)(編輯修改稿)

2026-07-17 05:37 本頁面

　

【文章內容簡介】減區間；（Ⅱ）關于x的方程g（x﹣1）+f（1）=0在區間（1，3）上有兩不同實根x1，x2（x1＜x2），求a++的取值范圍．【分析】（Ⅰ）根據冪函數的定義，求出a的值，即得f（x）的解析式與單調遞減區間；（Ⅱ）把方程化為g（x﹣1）=1﹣a，利用函數y=g（x﹣1）與y=1﹣a在x∈（1，3）的圖象上有二交點，得出a的取值范圍以及x1，x2的關系，從而求出a++的取值范圍．【解答】解：（Ⅰ）∵f（x）=（a﹣1）xa（a∈R），f（x）是冪函數，∴由題有a﹣1=1，得a=2；﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣2’∴f（x）=x2的單調遞減區間為（﹣∞，0）﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣4’（Ⅱ）方程g（x﹣1）+f（1）=0化為g（x﹣1）=1﹣a，由題意函數y=g（x﹣1）與y=1﹣a在x∈（1，3）上有兩不同交點．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣5’y=g（x﹣1）=|lg（x﹣1）|=；﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣7’在x∈（1，2]時，y=g（x﹣1）單調遞減，又y=g（x﹣1）∈[0，+∞），在x∈[2，3）時，y=g（x﹣1）單調遞增，y=g（x﹣1）∈[0，lg2），﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣9’所以0＜1﹣a＜lg2，即1﹣lg2＜a＜1，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣11’由x1＜x2，可知x1∈（1，2），x2∈（2，3），且即相加消去a，可得lg（x1﹣1）+lg（x2﹣1）=0，即（x1﹣1）（x2﹣1）=1，展開并整理得x1x2=x1+x2，即+=1．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣14’所以a++的取值范圍為（2﹣lg2，2）．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣16’【點評】本題考查了冪函數的定義與性質的應用問題，也考查了函數與方程的應用問題以及分類討論與轉化思想，是就綜合性題目．　8．（2015秋?資陽期末）已知函數f（x）=（a﹣1）xa（a∈R），g（x）=|lgx|．（Ⅰ）若f（x）是冪函數，求a的值；（Ⅱ）關于x的方程g（x﹣1）+f（1）=0在區間（1，3）上有兩不同實根x1，x2（x1＜x2），求的取值范圍．【分析】（Ⅰ）利用冪函數的定義能求出a．（Ⅱ）函數y=g（x﹣1）與y=1﹣a在x∈（1，3）上有兩不同交點，y=g（x﹣1）=，推導出1﹣lg2＜a＜1，x1∈（1，2），x2∈（2，3），由此能求出的取值范圍．【解答】解：（Ⅰ）∵f（x）=（a﹣1）xa（a∈R），f（x）是冪函數，∴由題有a﹣1=1，得a=2．（2分）（Ⅱ）方程化為g（x﹣1）=1﹣a，由題有函數y=g（x﹣1）與y=1﹣a在x∈（1，3）上有兩不同交點．（3分）y=g（x﹣1）=|lg（x﹣1）|=在x∈（1，2]時，y=g（x﹣1）單調遞減，y=g（x﹣1）∈[0，+∞），在x∈[2，3）時，y=g（x﹣1）單調遞增，y=g（x﹣1）∈[0，lg2），5分所以0＜1﹣a＜lg2，即1﹣lg2＜a＜1，（7分）由x1＜x2，可知x1∈（1，2），x2∈（2，3），且即相加消去a，可得lg（x1﹣1）+lg（x2﹣1）=0，即（x1﹣1）（x2﹣1）=1，展開并整理得x1x2=x1+x2，即．（11分）所以的取值范圍為（2﹣lg2，2）．（12分）【點評】本題考查實數值的求法，考查代數式的值的取值范圍的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意函數性質的合理運用．　9．（2015秋?長沙校級期中）．已知冪函數的圖象關于y軸對稱，且在區間（0，+∞）上是減函數，（1）求函數f（x）的解析式；（2）若a＞k，比較（lna）（lna）．【分析】（1）利用冪函數的性質，結合函數的奇偶性通過k∈N*，求出k的值，寫出函數的解析式．（2）利用指數函數y=（lna）x的性質，把不等式大小比較問題轉化為同底的冪比較大小，即可得出答案．【解答】解：（1）冪函數的圖象關于y軸對稱，所以，k2﹣2k﹣3＜0，解得﹣1＜k＜3，因為k∈N*，所以k=1，2；且冪函數在區間（0，+∞）為減函數，∴k=1，函數的解析式為：f（x）=x﹣4．（2）由（1）知，a＞1．①當1＜a＜e時，0＜lna＜1，（lna）＜（lna）；②當a=e時，lna=1，（lna）=（lna）；③當a＞e時，lna＞1，（lna）＞（lna）．【點評】本題是中檔題，考查冪函數的基本性質，考查不等式的大小比較，注意轉化思想的應用．　10．（2014秋?旌陽區校級月考）已知冪函數g（x）=（m2﹣2）xm（m∈R）在（0，+∞）為減函數，已知f（x）是對數函數且f（﹣m+1）+f（﹣m﹣1）=．（1）求g（x），f（x）的解析式；（2）若實數a滿足f（2a﹣1）＜f（5﹣a），求實數a的取值范圍．【分析】（1）根據題意，求出m的值，得

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