20xx年全國數學建模省級一等獎論文(編輯修改稿)

　

【文章內容簡介】 ‰ Cd分布圖： 12 可得 33355993xy??? ??和 2140011352xy??? ??兩個點，對比前面的模型，誤差 為 ‰ Cr分布圖： 可得 33546033xy??? ??一個點，對比前面的模型，誤差 為 ‰ Cu分布圖： 13 可得 23803702xy??? ??和 33405995xy??? ??兩個點，對比前面的模型，誤差 為 ‰ Hg分布圖： 14 可得 27142300xy??? ?? 、 137252349xy??? ??和 152479008xy??? ??三個點，對比前面的模型，誤差 為‰ Ni分布圖： 可得 32886030xy??? ??一個點，對比前面的模型，誤差 為 ‰ Pb分布圖： 15 可得 16592730xy??? ??和 47654917xy??? ??兩個點，對比前面的模型，誤差 為 ‰ Zn分布圖： 16 可得 138479589xy??? ??一個點，對比前面的模型，誤差 為 ‰ 由此可看出，模型的準確性 稍差 。 第五部分： 問題四的求解 ⑴ 模型的優缺點 ① 模型的優點： 模型原理簡單，利用數據庫可方便地整理大 量數據點。 模型思路新穎，將每個離散點形象化的組織起來，適于研究區域內離散數據。 應用廣泛，可在地學分析，計算機視覺，地理信息系統，計算幾何等領域進行廣泛的研究和應用。 ② 模型的缺點： 不能準確定位（定位的具體方法）污染源或計算污染物的量。 確定二維偏微分方程的系數時考慮的因素較少，誤差 略大 。 ⑵ 加入的信息 鑒于以上缺點，我們認為，還應收集以下信息來完善模型的準確性， 。 ，應考慮河流的沖刷作用。 （刮風，下雨，沙塵 暴等）也會影響重金屬的擴散。 。 。 ⑶ 模型的修改： 根據質量守恒原則，以污染物在土壤中的擴散為主要影響因素建立了具有恒定擴散系數的二維擴散方程，該模型為三題模型的改進，仍然假設擴散僅發生在土壤的表面。 22 10tCCZD??? 式中， C為土壤中某污染物的濃度； Z為土壤中測定點到土壤表面的距離； D為污染物在土壤中的擴散系數； t為時間。 對于不同的邊界條件，上式有不同的解。 a邊界條件 當 t=0且 0 ZL??時， C= 0C ； 當 Z=0且 t0時， C=0； 當 Z=L時 ， =0CZ?? 此時，擴散方程的解為： 17 22( 2 1 )014 ( 1 ) ( 2 1 ) ( )( , ) c o s2 1 2n DnnC n L ZC Z t enL? ?? ? ???? ? ?? ?? 揮發量為： 2201[1 2 ( 1 ) e x p ( ) ]nnDCf n L D tDt? ??? ? ? ?? 式中， L為土壤層的厚度；其余符號同前。 上式中，當指數項 22nL Dt 10時，該式的累加項將遠小于 1，可以忽略，則上式可以簡化為： 0 0DCf C D tDt ???? 這時， t時間內單位面積上由污染物的揮發總量為： 0Q f t C Dt ?? ? ? 對于土壤中重金屬污染物的揮發，某時刻、某位置處的濃度為： 0( , ) ( )2 ZC Z t C erf Dt? 式中， erf為誤差函數符號，上式適用的范圍為 2 L D? b邊界條件 當 t=0且 0 ZL??時， C= 0C ； 當 t=0且 Z0時， C=0； 當 t=0且 Z=0時， C=0 此時，土壤中的重金屬污染物的濃度計算模型如下： 0( , ) [ 2 ( ) ( ) ( ) ]2 222C Z Z L Z LC Z t e r f e r f e r fD t D t D t??? ? ? 化學污染物的揮發量為 : 20 [1 e x p ( 4 ) ]DCf L D tDt?? ? ? 當 2 4L Dt 的值很大時，上式同樣可化簡為 00DCf C D tDt ????的形式。 c如果假設重金屬污染物在土壤深度 L之內是均勻變化的，且在下部邊界沒 有污染物的流失，而土壤中污染物的揮發速率受土壤上部空氣去處揮發出得污染物速率的控制，即相對于流失而言，擴散的影響可以忽略；如果空氣停止流動，則污染物的揮發量為零。基于上述假設，有以下邊界條件： 18 當 t=0且 0 ZL??時 ， C= 0C ； 當 Z=L時 ， =0CZ??； 當 t0且 Z=0時 ， af vC? 偏微方程在此邊界條件下的解為： 2200 2 2 21 00( ) e x p ( ) c o s [ ( ) ]( , ) 2 [ ( ) ( ) ] c o s ( )n n nn n n nh R a D a t a L ZC Z t C L h R a a L R h a L??? ?? ? ? ??????? ? ? ?? ??? 式中， v為土壤上放空氣流動速度 ， LT； 0C 為土壤上放空氣中重金屬污染物的濃度 ， 3ML； 0R 為吸附等溫系數，為重金屬污染物在空氣中于土壤中的濃度比，即 0 0 sR C C? ； sC 為土壤中濃度 ； 0h Rv D? ； na 為下式的根 20 0ta n ( )n n nRva a L R aD?? 多數情況下，有 20 0 0R a R v D?? ，2200 2 2 21 00( ) e x p ( ) c o s [ ( ) ]( , ) 2 [ ( ) ( ) ] c o s ( )n n nn n n nh R a D a t a L ZC Z t C L h R a a L R h a L??? ?? ? ? ??????? ? ? ?? ??? 可 簡化為 ： 200 221 00( ) e x p ( ) c o s [ ( ) ]( , ) 2 [ ( ) ( ) ] c o s ( )nnn nnR v D D a t a L ZC Z t C L R v D a L R v D a L??? ?? ? ???? ??? ??? 上式中， na 為下式的根： 0tan( )nn Rva a L D? 重金屬污染物通過土壤表面的揮發量為： 2200 221 00( ) e x p ( )2 [ ( ) ( ) ]nn nR v D D a tf D C L R v D a L R v D??????? ??????? 如果土壤上方空氣流動不明顯，揮發出的重金屬污染物在土壤上方穩定空氣層中的擴散系數 gD 不能忽略，對于這種情況，可通過設定下述邊界條件球的其計算模式。 邊界條件： 當 t=0且 0 ZL??時， C= 0C ； 當 Z=L時， 0CZ? ?? ； 19 當 t0且 Z=0時， C= 0C ； 當 t0且 Z=0時， 0gsf D R C d? 解為： 200002212 e xp ( ) c os [ ( ) ]( , )[ ( ) ] c os ( )g nnggnnnD R C D a t a L ZC Z tD R D RDd L a L a LD d D d??????? ? ?? ??? ??????? 式中， na 為下式的根： 0ta n( ) gnn DRa a L Dd? ? 重金屬污染物通過土壤表面的揮發量為： 022000221e xp ( ) ( )2()gnggnnDRD a tDdf D CD R D RL a LD d D d????????????????? 上述模型是建立在質量平衡原則基礎上的，是從宏觀的角度描述污染物從土壤中的揮發規律的。 六 、模型 的評價與 推廣 本模型采用了多種方法有效的減 少計算量，使計算的時間減少到可以接受的程度。模型原理簡單可方便的整理大量數據點，能 良好的處理區域內離散數據問題，在地學分析、計算機視覺、地理信息系統、計算機和等方面有著廣泛的應用。但是模型仍然可以進一步優化，由于時間倉促，水平有限，沒能將這些想法完全實現。 七 、參考文獻 [1] 鄭彤 ,陳春云，環境系統數學模型，北京：化學工業出版社， 2020。 [2] 殷劍宏，吳開亞，圖論及其算法，合肥：中國科學技術大學出版社， 2020。 [3] 朱旭，李煥琴，籍萬新， MATLAB 軟件與基礎數學實驗，西安：西安交通大學出版 社， 2020。 [4] 方影 ， 孫慶文，高等數學與數學模型，北京：高等教育出版社， 2020。 [5]鄔學軍，周凱，宋軍全，數學建模競賽輔導教程，杭州：浙江大學出版社，2020。 [6] 趙睿新，環境污染化學，北京：化學工業出版社， 2020。 [7] 胡克林，張芬榮，呂貽忠，王茹，徐艷，北京市大興區土壤重金屬含量的空間分布特征，環境科學學報，第 24 卷第 3 期： 464～ 468,2020 年 4 月。 20 [8]段雪梅，蔡煥興，巢文軍，南京市表層土壤重金屬污染特征及污染來源，環境科學與管理，第 35 卷第 17 期： 31～ 77,2020 年 10 月。 [9]國家環境保護局，土壤環境質量標準，北京：中國環境出版社， 1995。 [10] 情系文檔心， 09 年 全 國 數 學 建 模 優 秀 論 文 ， 2020 年 9月 11 日。 八 、附錄 附錄一 ① 城區地形示意圖如下： 附錄二 ① 一區各元素的分布圖： 21 111 112 ② 二區各元素分布圖： 211 22 212 ③ 三區各元素分布圖： 311 312 ④ 四區各元素分布圖： 23 411 412 ⑤ 五區各元素分布圖： 511 24 512 附錄三 ① As 在城區情況分布圖： 121 ② Cd 在城區情況分布圖： 25 22