平方差公式與完全平方公式試題含答案(編輯修改稿)

2026-07-25 14:20 本頁面

　

【文章內容簡介】 =4a2+4b2+4c2　　（五）、注意乘法公式的逆運用　　例9 計算(a2b+3c)2(a+2b3c)2．　　分析：若按完全平方公式展開，再相減，運算繁雜，但逆用平方差公式，則能使運算簡便得多．　　解：原式=[(a2b+3c)+(a+2b3c)][(a2b+3c)(a+2b3c)]=2a(4b+6c)=8ab+12ac．　　例10 計算(2a+3b)22(2a+3b)(5b4a)+(4a5b)2　　分析：此題可以利用乘法公式和多項式的乘法展開后計算，但逆用完全平方公式，則運算更為簡便．　　解：原式=(2a+3b)2+2(2a+3b)(4a5b)+(4a5b)2=[(2a+3b)+(4a5b)]2=(6a2b)2=36a224ab+4b2．四、怎樣熟練運用公式：（一）、明確公式的結構特征這是正確運用公式的前提，如平方差公式的結構特征是：符號左邊是兩個二項式相乘，且在這四項中有兩項完全相同，另兩項是互為相反數；等號右邊是乘式中兩項的平方差，且是相同項的平方減去相反項的平方．明確了公式的結構特征就能在各種情況下正確運用公式．（二）、理解字母的廣泛含義乘法公式中的字母a、b可以是具體的數，也可以是單項式或多項式．理解了字母含義的廣泛性，就能在更廣泛的范圍內正確運用公式．如計算（x+2y－3z）2，若視x+2y為公式中的a，3z為b，則就可用（a－b）2=a2－2ab+b2來解了。（三）、熟悉常見的幾種變化有些題目往往與公式的標準形式不相一致或不能直接用公式計算，此時要根據公式特征，合理調整變化，使其滿足公式特點．常見的幾種變化是：位置變化如（3x+5y）（5y－3x）交換3x和5y的位置后即可用平方差公式計算了．符號變化如（－2m－7n）（2m－7n）變為－（2m+7n）（2m－7n）后就可用平方差公式求解了（思考：不變或不這樣變，可以嗎？）數字變化如98102，992，912等分別變為（100－2）（100+2），（100－1）2，（90+1）2后就能夠用乘法公式加以解答了．系數變化如（4m+）（2m－）變為2（2m+）（2m－）后即可用平方差公式進行計算了．項數變化如（x+3y+2z）（x－3y+6z）變為（x+3y+4z－2z）（x－3y+4z+2z）后再適當分組就可以用乘法公式來解了（四）、注意公式的靈活運用有些題目往往可用不同的公式來解，此時要選擇最恰當的公式以使計算更簡便．如計算（a2+1）2（a2－1）2，若分別展開后再相乘，則比較繁瑣，若逆用積的乘方法則后再進一步計算，則非常簡便．即原式=[（a2+1）（a2－1）]2=（a4－1）2=a8－2a4+1．對數學公式只會順向（從左到右）運用是遠遠不夠的，還要注意逆向（從右到左）運用．如計算（1－）（1－）（1－）…（1－）（1－），若分別算出各因式的值后再行相乘，不僅計算繁難，而且容易出錯．若注意到各因式均為平方差的形式而逆用平方差公式，則可巧解本題．即原式=（1－）（1+）（1－）（1+）…（1－）（1+）=… ==．有時有些問題不能直接用乘法公式解決，而要用到乘法公式的變式，乘法公式的變式主要有：a2+b2=（a+b）2－2ab，a2+b2=（a－b）2+2ab等．用這些變式解有關問題常能收到事半功倍之效．如已知m+n=7，mn=－18，求m2+n2，m2－mn+ n2的值．面對這樣的問題就可用上述變式來解，即m2+n2=（m+n）2－2mn=72－2（－18）=49+36=85，m2－mn+ n2= （m+n）2－3mn=72－3（－18）=103．下列各題，難不倒你吧？！若a+=5，求（1）a2+，（2）（a－）2的值．求（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）（216+1）（232+1）（264+1）+1的末位數字．（答案：1.（1）23；（2）21．2. 6 ）五、乘法公式應用的五個層次乘法公式：(a＋b)(a－b)=a2－b2，(a177。b)=a2177。2ab＋b2，(a177。b)(a2177。ab＋b2)=a3177。b3．第一層次──正用即根據所求式的特征，模仿公式進行直接、簡單的套用．例1計算 (2)(－2x－y)(2x－y)．　(2)原式=[(－y)－2x][(－y)＋2x]=y2－4x2．第二層次──逆用，即將這些公式反過來進行逆向使用．例2計算(1)19982－19983994＋19972；解(1)原式=19982－219981997＋19972 =(1998－1997)2=1第三層次──活用：根據待求式的結構特征，探尋規律，連續反復使用乘法公式；有時根據需要創造條件，靈活應用公式．例3化簡：(2＋1)(22＋1)(24＋1)(28＋1)＋1．分析直接計算繁

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