高二數學函數思想(編輯修改稿)

　

【文章內容簡介】 ? ? 2f x a x b? ??, 又 由于39。 ( ) 6 2f x x??, 得3 , 2ab? ? ?. 所以 ? ? 232f x x x??. 又因為點( , )( )nn S n ?? N均在函數()y f x?的圖像上，所以232nS n n??. 當 n ≥2 時，? ?221( 3 2 ) 3 1 2 ( 1 ) 6 5n n na S S n n n n n???? ? ? ? ? ? ? ? ? ???。 當 n =1 時，11 3 1 2 1 6 1 5 ,aS ? ? ? ? ? ? ? ? 所以6 5 ( )na n n ?? ? ? N. （ Ⅱ ） 由（ Ⅰ ）得 ? ?13 1 1 1 1( 6 5 ) 6 ( 1 ) 5 2 6 5 6 1nnnba a n n n n???? ? ? ???? ? ? ? ???， 故11 1 1 1 1 11 . . .2 7 7 1 3 6 5 6 1nniiTbnn???? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?????? ? ? ? ? ????=1112 6 1n????????. 把代數式1112 6 1n????????看作n的函數? ?n?, 因此，使得? ?1112 6 1 2 0mnn???? ? ??????成立的m必須滿足 ? ?n?的最大值20m? ? ?m a xm a x1 1 112 6 1 2 0nn??? ??? ? ??????????, 即12≤20m，即10m ?, 故滿足要求的最小整數m為 10 . 【例 3 】 （ 20 07 年北京卷 , 文）已知函數y kx?與2 2 ( 0 )y x x? ? ?的圖象相交于11()A x y，22()B x y，1l，2l分別是2 2 ( 0 )y x x? ? ?的圖象在AB，兩點的切線，MN，分別是1l，2l與x軸的交點． （ Ⅰ ） 求k的取值范圍； （ Ⅱ ） 設t為點M的橫坐標，當12xx?時，寫出t以1x為自變量的函數式，并求其定義域和值域； （ Ⅲ ） 試比較OM與ON的大小，并說明理由（O是坐標原點）． 【分析及解】 （ Ⅰ ）解得22k ?． （ Ⅱ ）由( ) 2f x x? ?，求得切線1l的方程為1 1 12 ( )y x x x y? ? ?， 由211 2yx ??，并令0y ?，得1112xtx?? 1x，2x是方程 ① 的兩實根，且12xx?， 故 212842 8kkxkk??????，22k ?， 這時需要把1x看作是k的函數 , 1x是關于k的減函數，所以1x的取值范圍是( 0 2 )，．t是關于1x的增函數，定義域為( 0 2 )，所以值域為()?? ， 0， （ Ⅲ ）略． 【例 4 】 ( 200 5 江西卷，理 ) 已知數列}{ na各項都是正數 , 且滿足 0111 , ( 4 ) , .2n n na a a a n??? ? ? ? N （ Ⅰ ） 證明1 2 , 。nna a n??? ? ? N （ Ⅱ ） 求數列}{ na的通項公式 an. 【分析及解】 （ Ⅰ ） 解法 1. 把11( 4 ) , .2nnna a a n??? ? ? N看作一個函數 , 其中把na看作自變量 , 把1na ?看作na的函數 , 即設)4(21)( xxxf ??. 由此啟發得? ? .22221])2(4[21)4(21 221??????????? kkkkkaaaaa 于是 ,2?ka 又因為? ?21112 2 0 ,22k k k k k k ka a a a a a a?? ? ? ? ? ? ? ? ?所以 kk aa ?? 1, 由以上有1 2 , 。nna a n??? ? ? N 解法 2 . 用數學歸納法證明 ： 1176。 當1n ?時，,23)4(21,10010???? aaaa ∴20 10 ??? aa； 2176。 假設 n = k 時有21 ??? kk aa成立， 令)4(21)( xxxf ??，)( xf在 [0 ， 2] 上單調遞增， 所以由假設有：),2()()( 1 fafaf kk ??? 即),24(221)4(21)4(2111????????? kkkkaaaa 也即當 n= k+ 1 時 21 ?? ?kk aa成立， 所以對一切1,2 kkn a a??? ? ?N 有. 比較這兩個解法，用函數的觀點求解的解法 1 更為簡捷 . （ Ⅱ ） 略 . 【例 5 】（ 2020 江蘇卷）已知函數3( ) 3 1f x ax x? ? ?（x ? R），對于[ 1 1 ]x ?? ，總有( ) 0fx ?成立，則實數 a 的值為 ． 【分析及解】 當0x ?時 ,? ? 10fx ??。 當? ?0 , 1x ?時 , 3( ) 3 1 0f x ax x? ? ? ?可化為 2331axx??, 把代數式2331xx?看作函 數設? ?2331gxxx??, 則? ?? ?43 1 2 xgxx?? ?, 所以 ,? ?gx在10,2??? ???上單調遞增 , 在1,12??????上單調遞減 , 因此 , 當12x ?時 , ? ?gx最大 , ? ?m a x142g x g???? ????, 從而4a ? 當? ?1 , 0x ??時 , 3( ) 3 1 0f x ax x? ? ? ?可化為 2331axx??, 當? ?1 , 0x ??時 ,? ?? ?43 1 20xgxx?? ??, 所以 ,? ?gx在? ?1 , 0?上單調遞增 , 因此 ,當 1x ?? 時 , ? ?gx最小 , ? ? ? ?m in 14g x g? ? ?, 從而 4a ? . 由以上 , ? 【例 6 】 （ 200 7 廣東卷 , 理 , 文） 已知a是實數，函數2( ) 2 2 3f x a x x a? ? ? ?．如果 函數()y f x?在區間[ 1 , 1 ]?上有零點，求a的取值范圍． 【 分析及 解】0a ?時，不符合題意，所以0a ?, 又 ∴2( ) 2 2 3 0f x ax x a? ? ? ? ?在? ?1 , 1?上有解 2( 2 1 ) 3 2x a x? ? ? ?在? ?1 , 1?上有解 21 2 132xax????在? ?1 , 1?上有解 . 把等式的右邊看作函數 22132xx??, 設 22132xyx???,1 , 1x ??????. 問題轉化為求函數 22132xyx???? ?1 , 1x ??上的值域； 設32tx??，? ?1 , 1x ??， 則23xt??，? ?1 , 5t ?, 21 ( 3 ) 2 1 7( 6 )22tyttt??? ? ? ? ?， 設 2277( ) , ( )tg t t g ttt??? ? ?， [ 1 , 7 )t ?時，( ) 0gt ? ?，此函數? ?gt單調遞減， ( 7 , 5 ]t ?時，( ) 0gt ? ?, 此函數? ?gt單調遞增， ∴ 函數 22132xyx???,? ?1 , 1x ??上的值域是[ 7 3 , 1 ]?， ∴2( ) 2 2 3 0f x ax x a? ? ? ? ?在? ?1 , 1?上有解 等價于17 3 1a? ? ? 解得1a ?或372a???. 2. 是不是想到運 用函數和方程的性質 . 【例 1 】 解方程? ?3 4 5 6x x x x x? ? ? ? R. 【分析及解】 不難驗證 , 3 3 3 33 4 5 6? ? ?, 即3x ?是方程的一個解 . 但是 , 方程還有沒有其它的解呢 ? 我們把方程轉化為函數 , 把方程化為 1 2 512 3 6x x x? ? ? ? ? ?? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?. 把方程的左邊看作函數 , 設? ?1 2 52 3 6xx xfx? ? ? ? ??? ? ? ? ????? ? ? ?? ? ?. 我們研究當3x ?時 , 函數? ?fx的性質 . 由于xya?, 對于01 a??是 R 上的減函數 , 則當3x ?時 , 有 ? ?3 3 31 2 5 1 2 512 3 6 2 3 6x x xfx? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?, 當3x ?時 , 有 ? ?3 3 31 2 5 1 2 512 3 6 2 3 6x x xfx? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 所以 , 當3x ?時 , 函數? ? 1fx ?, 即方程沒有3x ?以外的解 . 【例 2 】 解方程5 3 2xxx? ? ? ?. 【分析及解】 這個方程既有 無理函數 , 又有指數函數 , 直接解有困難 . 5 2 3 xxx? ? ? ?. 把方程的兩邊分別看作是x的函數 . 設 ? ? ? ?5 2 , 3 .xf x x x g x? ? ? ? ? ? ?fx和? ?gx的共同定義域是? ?2xx ?. 顯然 , ? ? ? ? 11 5 1 2 1 3 , 1 3 3 .fg ? ? ? ? ? ? ?所以 ,? ? ? ?11fg ?, 即1x ?是方程的根 . 由于? ?fx是定義域上的減函數 , ? ?gx是定義域上的增函數 , 則當1x ?時 ,? ? ?