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抽象函數常見題型解法(編輯修改稿)

2025-08-19 09:41 本頁面

　

【文章內容簡介】 (x)在R上為增函數。已知偶函數f(x)的定義域是x≠0的一切實數，對定義域內的任意x1,x2都有，且當時，（1）f(x)在(0,+∞)上是增函數；（2）解不等式四、解析式問題（換元法，解方程組，待定系數法，遞推法，區間轉移法)例5. 已知f(1+sinx)=2+sinx+cos2x, 求f(x)解:令u=1+sinx,則sinx=u1 (0≤u≤2),則f(u)=u2+3u+1 (0≤u≤2)故f(x)=x2+3x+1 (0≤u≤2)小結：換元法包括顯性換元法和隱性換元法，它是解答抽象函數問題的基本方法.例設對滿足x≠0,x≠1的所有實數x，函數f(x)滿足, ,求f(x)的解析式。解: （2）（3）小結：通過解方程組的方法可求表達式。怎樣實現由兩個變量向一個變量的轉化是解題關鍵。通常，給某些變量適當賦值，使之在關系中“消失”，進而保留一個變量，是實現這種轉化的重要策略。(x)是多項式函數，且f(x+1)+f(x1)=2x24x,求f(x).解:易知f(x)是二次多項式，設f(x)=ax2+bx+c (a≠0)，代入比較系數得:a=1,b= 2,c= 1,f(x)=x22x1.小結：如果抽象函數的類型是確定的，則可用待定系數法來解答有關抽象函數的問題。七、周期性與對稱性問題（由恒等式簡單判斷：同號看周期，異號看對稱）編號周期性對稱性1→T=2→對稱軸219。是偶函數；→對稱中心（a,0）219。是奇函數2→T=→對稱軸；→對稱中心；3f(x)= f(x+a)→T=2f(x)= f(x+a)→對稱中心4→T=2→對稱中心5f(x)=177。→T=2f(x)= bf(x+a)→對稱中心6f(x)=1→T=3結論：(1) 函數圖象關于兩條直線x=a，x=b對稱，則函數y=f(x)是周期函數，且T=2|ab| (2) 函數圖象關于點M(a,0)和點N(b,0)對稱，則函數y=f(x)是周期函數，且T=2|ab| (3) 函數圖象關于直線x=a，及點M(b,0)對稱，則函數y=f(x)是周期函數，且T=4|ab| （4）應注意區分一個函數的對稱性和兩個函數的對稱性的區別: y=f(a+x)與y=f(bx)關于對稱；y=f(a+x)與y=f(bx)關于點對稱（可以簡單的認為：一個函數的恒等式，對應法則下的兩式相加和的一半為對稱軸：兩個同法則不同表達式的函數，對應法則下的兩式相減等于0，解得的x為對稱軸）八、綜合問題例21. 定義在R上的函數f(x)滿足：對任意實數m，n，總有，且當x0時，0f(x)1。（1）判斷f(x)的單調性；（2）設，若，試確定a的取值范圍。解：（1）在中，令，得，因為，所以。在中，令,因為當時，所以當時,而,所以又當x=0時，所以，綜上可知，對于任意，均有。設，則。（2）由于函數y=f(x)在R上為減函數，所以,即有又，根據函數的單調性，有,由，所以直線與圓面無公共點。因此有，解得。評析：（1）要討論函數的單調性必然涉及到兩個問題：一是f(0)的取值問題，二是f(x)0的結論。這是解題的關鍵性步驟，完成這些要在抽象函數式中進行。由特殊到一般的解題思想，聯想類比思維都有助于問題的思考和解決。(x),滿足當x0

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