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第七章第五節直線、平面垂直的判定及其性質(編輯修改稿)

2025-08-19 09:45 本頁面

　

【文章內容簡介】 ?平面 A1FD，所以平面 A1FD⊥ 平面 BB1C1C. 兩個平面垂直的性質定理，可以作為直線和平面垂直的判定定理，當條件中有兩個平面垂直時，常添加的輔助線是在一個平面內作兩平面交線的垂線 . 如圖 ① ，四邊形 ABCD中， AD∥ BC， AD＝ AB，∠ BCD＝ 45176。， ∠ BAD＝ 90176。，將 △ ABD沿對角線 BD折起，記折起后點的位置為 P，且使平面 PBD⊥ 平面 BCD，如圖 ② . (1)求證：平面 PBC⊥ 平面 PDC； (2)在折疊前的四邊形 ABCD中，作 AE⊥ BD于 E，過 E作EF⊥ BC于 F，求折起后的圖形中 ∠ PFE的正切值 . [思路點撥 ] [課堂筆記 ] (1)證明：折疊前，在四邊形 ABCD中，AD∥ BC， AD＝ AB， ∠ BAD＝ 90176。，所以△ ABD為等腰直角三角形 .又因為 ∠ BCD＝ 45176。，所以∠ BDC＝ 90176。 . 折疊后，因為面 PBD⊥ 面 BCD， CD⊥ BD，所以 CD⊥ 面 PBD. 又因為 PB ?面 PBD，所以 CD⊥ PB. 又因為 PB⊥ PD， PD∩CD＝ D，所以 PB⊥ 面 PDC. 又 PB?面 PBC，故平面 PBC⊥ 平面 PDC. (2)AE⊥ BD， EF⊥ BC，折疊后的位置關系不變，所以 PE⊥ BD. 又面 PBD⊥ 面 BCD，所以 PE⊥ 面 BCD，所以 PE⊥ EF. 設 AB＝ AD＝ a，則 BD＝ a，所以 PE＝ a＝ BE. 在 Rt△ BEF中， EF＝ BEsin45176。＝ a ＝ a. 在 Rt△ PFE中， tan∠ PFE＝＝＝ . 高考中對直線與平面所成的角及二面角的考查是熱點之一，有時在客觀題中考查，更多的是在解答題中考查 . 求這兩種空間角的步驟：根據線面角的定義或二面角的平面角的定義，作 (找 )出該角，再解三角形求出該角，步驟是作 (找 )―→ 認 (指 ) ―→ 求 . 在客觀題中，也可用射影法：設斜線段 AB在平面 α內的射影為 A′B′， AB與 α所成角為 θ，則 cosθ＝ . 設 △ ABC在平面 α內的射影三角形為 △ A′B′C′，平面 ABC與 α所成角為 θ，則 cosθ＝ . (2022安陽模擬 )三棱錐 P－ ABC中， PC、 AC、 BC兩兩垂直， BC＝ PC＝ 1， AC＝ 2， E、 F、 G分別是 AB、 AC、 AP的中點 . (1)證明：平面 GFE∥ 平面 PCB； (2)求二面角 B－ AP－ C的正切值 . [思路點撥 ] [課堂筆記 ] (1)證明：因為 E、 F、 G分別是 AB、 AC、AP的中點，所以 EF∥ BC， GF∥ CP. 因為 EF， GF?平面 PCB. 所以 EF∥ 平面 PCB， GF∥ 平面 PCB. 又 EF∩GF＝ F，所以平面 GFE∥ 平面 PCB. (2)∵ BC⊥ PC， BC⊥ CA，且 PC∩AC＝ C， ∴ BC⊥ 平面 PAC. 過點 C作 CH⊥ PA于 H點，連結 HB，則易證 HB⊥ PA， ∴∠ BHC即為二面角 B－ AP－ C的平面角 . 在 Rt△ ACP中， AP＝＝， HC＝＝ (等積 ). ∴ tan∠ BHC＝＝＝ . 近年來開放型問題不斷在高考試題中出現，這說明高考對學生的能力要求越來越高，這也符合新課標的理念，因而在復

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