222橢圓的簡單幾何性質(zhì)(經(jīng)典)(編輯修改稿)

　

【文章內(nèi)容簡介】 ( , )0Fc ?左, 右 焦 點( , )0Fc右, 則PF ?左 ,PF ?右 0a ex? 0a ex? ( e 是離心率 ) 推導(dǎo) : () 2200右 xP cyF ? ? ?=()2222 00 2bxx c ba? ? ? = 222002 2cx x c aa??=0c xaa ? =0e x a? = 20aex c? ( 20 ax c? 可看作 什么 呢 ? ) 2axc?d 的比是常數(shù) e . 橢圓 ??2222 1xyab( ?? 0ab ) 上的點 ( , )00P x y 到 右焦點 ( , )0Fc右 的 距離和它到定直線 2: ax c? 的距離 的 反 過 來 成 立 嗎 ? y o 左 F x 右 F ( , )00P x yd = 20axc? 55 橢圓有許多重要結(jié)論 :( 以橢圓 2222 1 ( 0 )xy aba b? ? ? ?為例 ) 離和它到 右準線 2: axc?的距離的比是 __ __ __ _ __ _ , 且 反過來 , 滿足這一條件的點在橢圓上 . 3. 00( , )P x y 是橢圓 2222 1xya b??上的任意一點 到右焦點 ( , )0Fc 右 的距 常 數(shù) ce a? 56 點 M ( , )xy 與定點 ( , 0)Fc ( 0 )c ? 的 距離和它到定直線 2: axc?的距離 的比是常數(shù) ( 0 1 )ccaa ??, 則 點 M 的軌跡 是一個橢圓 . 這是橢圓的又一幾何本質(zhì)特征 . 這個性質(zhì)使我們對離心率的意義有更進一步的了解 其中定點 ( , 0)Fc 是橢圓的一個焦點 , 定直線 2: axc?是對應(yīng)于焦點 ( , 0)Fc 的一條準線 , 常數(shù) ca是 橢圓 的 離 心 率 e . 57 學(xué)習(xí)小結(jié) : 橢圓方程 22221 ( 0 )xyabab? ? ? ? 焦點 ( , 0 )Fc ?左 、( , 0 )Fc右 準線方程 離心率 圖形 2axc?d y o 左 F x 右 F ( , )00P x y左準線 : 2axc??、右準線 : 2axc? PFPFcea d d??右左左 右或 58 學(xué)習(xí)小結(jié) : 橢圓方程 22221 ( 0 )yxabab? ? ? ? 焦點 ( 0 , )Fc ?下 、( 0 , )Fc上 準線方程 離心率 圖形 下 準線 : 2ayc??、 上 準線 : 2ayc? PF PFcea d d??下 上下 上或 1 o F y x 2 F M 2ayc?d , 變形后得到 , 再變形為 . 這個方程的幾何意義如何？ 2 2 2 2( ) ( ) 2x c y x c y a+ + + + =2 2 2()a c x a x c y = +22y caaxc+=2（ xc ）新知探究 O x y F H M l 22y caaxc+=2（ xc ）橢圓上的點 M(x， y)到焦點 F(c， 0)的距 離與它到直線 的距離之比等于離心率 . 2axc=新知探究 2axc=若點 F是定直線 l外一定點，動點 M到點 F的距離 與它 到直線 l的距離 之 比 等于常數(shù) e(0＜ e＜ 1)，則點 M的軌跡是橢圓 . M F H l 新知探究 直線 叫做橢圓相應(yīng)于焦點 F2(c， 0)的 準線 ，相 應(yīng)于焦點 F1(－ c， 0)的準線方程是 2axc=2= axcO x y F2 F1 2axc=2= axc新知探究 橢圓 的準線方程是 ? ?2222 10xy abba? ? ? ?x F1 F2 y O 2= ayc2= ayc新知探究 M O x y F l 橢圓的一個焦點到它相應(yīng)準線的距離是 22||abF M ccc= =新知探究 對于橢圓 ? ?2222 10xy abba? ? ? ?橢圓上的點到橢圓中心的距離的最大值和最小值分別是 O M x y 最大值為 a，最小值為 b. 新知探究 橢圓上的點到橢圓焦點的距離的最大值和最小值分別是什么？ O M x y F 新知探究 點 M在橢圓上運動，當點 M在什么位置時， ∠ F1MF2為最大？ F1 O F2 x y M 點 M為短軸的端點 . 新知探究 橢圓上的點到橢圓一個焦點的距離叫做橢圓的 焦半徑 ，上述結(jié)果就是橢圓的焦半徑公式 . |MF1|＝ a＋ ex0 |MF2|＝ a－ ex0 新知探究 橢圓 的焦半徑公式是 ? ?2222 10yx abab? ? ? ? |MF|＝ a177。 ey0 x F1 F2 y O M 新知探究 例 1 若橢圓 上一點 P到 橢圓左準線的距離為 10，求點 P到橢 圓右焦點的距離 . 221100 36xy??12 典型例題 例 2 已知橢圓的兩條準線方程為 y＝ 177。 9，離心率為 ，求此橢圓的標準方程 . 3119822??yx典型例題 例 3 已知橢圓中心在原點，焦點在 x軸上，點 P為直線 x＝ 3與橢圓的一個交點，若點 P到橢圓兩焦點的距離分別是 ，求橢圓的方程 . 22412 5 7 5xy+=F1 O F2 x y P 典型例題 例 4 已知點 M與點 F(4， 0)的距離和它 到直線 l： 的距離之比等于 ， 求點 M的軌跡方程 . 254x ?4522125 9xy+=M O x y F H l 典型例題 課堂小結(jié) 的離心率，這是橢圓的一個重要性質(zhì)，通常將它稱為橢圓的第二定義 . 25 2: ( , ) ( 4 , 0) :44 , .5M x y F l xM?例 點 與 定 點 的 距 離 和 它 到 直 線的 距 離 的 比 是 常 數(shù) 求 點 的 軌 跡H d 1 9 25 6 10 , 1 9 25 , 225 25 9 , . 5 4 4 25 ) 4 ( }, 5 4 { , , 4 25 : : 2 2 2 2 2 2 2 2 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? y x x M y x y x x y x d MF M P M x l M d 的橢圓，其軌跡方程是 、為 軸，長軸、短軸長分別 的軌跡是焦點在 點 所以 即 并化簡得 將上式兩邊平方 由此得 跡就是集合 的軌 點 根據(jù)題意 的距離 到直線 是點 設(shè) 解 22221111yxabPPP O PPFPFPF???????????????????? ???????????????????????????點 是 橢 圓 上 的 動 點 ， 當 的 坐 標 為 時 ，到 原 點 的 最 大 距 離 為 ； 當 的 坐 標 為 時 ，到 原 點 O 的 最 小 距 離 為 ； 設(shè) （ c,0), 則 當 P 的坐 標 為 時 ， 的 最 大 值 為 ； 則 當 P 的坐 標 為 時 ， 的 最 小 值 為 。(177。 a,0) a (0,177。 b) b (a,0) a+c (a,0) ac 77 橢圓有許多重要結(jié)論 :( 以橢圓 2222 1 ( 0 )xy aba b? ? ? ?為例 ) 1 .00( , )P x y是橢圓 2222 1xya b??上的任意一點，長軸兩端點為1 ( , 0 )Aa ?、2 ( , 0 )Aa，則兩直線1PA、2PA的斜率之積12P A P A?kk等于常數(shù) __ _ __ . 22ba? 反過來 , 滿足這一條件的點在橢圓上 . 1 ． 橢圓 的長軸長為 ，短軸 長為 ，半焦距為 ，離心率為 ， 焦點坐標為 ，頂點坐標為 . (0, 6 2 )?819 22 ?? yx 186 62 223(0, ,9)?( 3,0)?課前練習(xí) 1 例 5 如圖 .一種電影放映燈泡的放射鏡面是旋轉(zhuǎn)橢圓面 (橢圓繞其對稱軸旋轉(zhuǎn)一周形成的曲面 )的一部分 .過對稱軸的截口 BAC是橢圓的一部分 ,燈絲位于橢圓的一個焦點 F1上 ,片門位于另一個焦點 F2上 .由橢圓一個焦點 F1發(fā)出的光線 ,經(jīng)過旋轉(zhuǎn)橢圓面反射后集中到另一個焦點 F2,已知 求截口 BAC所在橢圓的方程 . x y o l F’ F A B C 121 1 22 . 8 , 4 . 5 ,B C F FF B C M F F C M???，x y o 例 2. 如圖，我國發(fā)射的第一顆人造衛(wèi)星的運行軌道， 是以地心（地球的中心） F2為一個焦點的橢圓。 已知它的近地點 A（離地面最近的點）距地面 439km。遠地點 B（離地面最遠的點）距地面 2384km,并且 F A、 B在同一直線上，地球 半徑約為 (精確 到 1km). F2 F1 B A 81 思考 3: 已知橢圓 22195xy ?? 的焦點為 12,FF , 在直線 : 6 0l x y? ? ? 上找一點 M , 求以12,FF為焦點 , 通過點 M 且長軸最短的橢圓方程 . 22 12 0 1 6xy?? 分析 : ∵ 橢圓的焦點為 ( 2 , 0 ) , ( 2 , 0 )? 關(guān) 鍵 是 怎樣 求 出 橢 圓 的 長 軸 大 小 . 82 練習(xí) 鞏固 : 1. 過橢圓 22116 4xy??內(nèi)一點( 2 , 1 )M引一條弦 , 使弦被點 M平分 , 求這條弦所在的直線方程 . 2. 橢圓 22116 4xy??上的點到直線2 2 0xy ? ? ?最大距離是 _ _____ __. 3. 已知橢圓的焦點12( 3 , 0) , ( 3 , 0)FF ?且和直線90xy ? ? ?有公共點 , 則其中長軸最短的橢圓方程為 _ _____ . 2 4 0xy? ? ?