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4-7導數在不等式證明中的應用(編輯修改稿)

2025-08-22 05:31 本頁面

　

【文章內容簡介】，所以)( xf為凹函數，因此點( 0 , 0)處的切線位于曲線()y f x?下方，從而( ) ( 0) ( 0)f x f f x x?? ? ?。 2410 例 4 . 7 . 7 當 0x ? 時，證明 l n ( 1 )1x xxx ? ? ??。 . 3 利用中值定理證明不等式證由拉格朗日中值定理， 1l n ( 1 ) l n ( 1 ) l n 1x x x?? ? ? ? ?，其中11 x?? ? ?，所以 1111 x ????，得 11xxxx ????，即 1l n ( 1 )1xxx? ? ??， 0x ? 。此結論要記住。 2411 例 4 . 7 . 8 當 1?x 時，證明 ( 1 ) e 1xx?? 。分析： ( 1 )e 1 1 e 1 ex x xx x x??? ? ? ? ? ? ? ?。證當 0x ? 時，上式顯然成立。當 0x ? 時，由拉格朗日中值定理， 01 e e e exx x???? ? ? ? ?，其中?介于 0 與 x? 之間。若 01 x?? ，則0x ?? ? ?， e1? ? ，有 e xx? ?? ；若 0x ? ，則0 x?? ? ?， e1? ? ，有 e xx? ?? ；綜上可知，當 1?x 時，總有( 1 ) e 1xx??。 2412 例 4 . 7 . 9 設函數 )( xf 二階可導，且 0)( ??? xf ，1)(l i m0?? xxfx，證明對于任意的 x ，有 ()f x x? ．（例 4 . 7 . 6 另解）證由1)(l i m0?? xxfx知0l i m ( ) 0xfx??。又由題意知)( xf在),( ????內連續，故0l i m ( ) (0 )xf x f??，所以(0 ) 0f ?。進而有 0( ) ( 0 )l im 10xf x fx????，得( 0 ) 1f ? ?。由泰勒公式， 2()( ) ( 0) ( 0) ( 0) ( 0)2!ff x f f x x f f x x?????? ? ? ? ? ?。 2413 一般地， 4 . 7 . 4 利用最值證明不等式要證明 ( ) ( )f x M x I?? ，則只需證明 m a x ( ) .xI f x M? ? 要證明 ( ) ( )f x m x I?? , 則只需證明 m i n ( ) .xI f x m? ? 2414 例 4 . 7 . 1 0 設 ( ) ( 1 ) , [0 , 1 ]ppf x x x x? ? ? ?，其中常數 1?p ，證明11 ( ) 12 p fx? ??， [0 , 1 ]x ? 。（例 4 . 7 . 4 另證）解令11( ) ( 1 ) 0ppf x p x p x??? ? ? ? ?，解得駐點12x

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