基于dijkstra的最短路徑搜索算法的優化及應用—畢業設計論文(編輯修改稿)

　

【文章內容簡介】 為距離 4+邊 2,4 的長度 距離 2,所以不更新 ) 醫院 1 已 標號 距離 0 醫院 2 未標號 距離 ∞ 醫院 3 已 標號 距離 4 醫院 4 未標號 距離 9 12 4 5 6 醫院 1 已 標號 距離 0 醫院 2 未標號 距離 ∞ 醫院 3 未標號 距離 4 醫院 4 未標號 距離 ∞ 12 4 5 6 10 找所 有未標號中距離最短的頂點為 醫院 2,將 2做標號 ,已沒有與 2相鄰的未標號頂點需要更新了 再次找所有未標號中距離最短的頂點已找不到 ,得結果 d(2)=12,d(3)=4,d(4)=9. Dijkstra算法的優缺點 Dijkstra 算法能夠保證 100%找到最優解，但其搜索速度較慢，搜索效率非常低，時間花費較多，一般只能用于離線的路徑規劃問題。 如節點數為 n的圖，用 Dijkstra算法計算最短路徑總共需要迭代 n一 1次，每次迭代都新加一個節點到臨時節點集合中 ，由于第 i次迭代時不在臨時節點集合中的節醫院 1 已 標號 距離 0 醫院 2 已 標號 距離 ∞ 醫院 3 已 標號 距離 4 醫院 4 已 標號 距離 9 12 4 5 6 醫院 1 已 標號 距離 0 醫院 2 未標號 距離 12 醫院 3 已 標號 距離 4 醫院 4 以 標號 距離 9 12 4 5 6 11 點 數為 ni．即第 i次迭代需對 ni個節點進行處理，因此其所需的處理數為11( 1)() 2ninnni?????? ，對 n個節點網絡的時間復雜度是 O(n2)。在實際應用當中，使用 Dijkstra算法查找最短路徑時耗費大量的時間進行數據的比較，本文對 Dijkstra算法進行分析，通過改變算法實現減少不必要節點計算的時間，提高算法的效率達到對其進行優化。 下一個例子說明 Dijkstra算法存在的缺陷： 例：圖 G(V， E， W)，求從 v1出發到其 它各個頂點的最短路徑長度。 圖 權圖 G 解： wi表示由源 v1到點 vi的最短距離； S表示已求出最短路徑的頂點集合，其初始值為 S{v1}； k表示剛選出的頂點的編號；選出 vk后修改 U中各頂點的距離的方法為：wi=min{wi， dki}； 下表通過 Dijkstra算法來求解圖 ： v1 初始 第一步 第二步 第三步 … v2 15 9 v3 ∞ ∞ v4 4 v5 ∞ ∞ v6 ∞ 10 v7 ∞ ∞ S={v1} v4 v2 k 12 w S v1,v4 v1,v2,v4 在上表中選出頂點 v4加入到 S時一共進行了 6次比較，其中四次是與 ∞作比較，也就是說這四次完全沒有必要進行比較。當選出 v4后，需要對 U中的各個頂點的距離進行調整，在調整過程中利用到 wi =min{wi， w4+d4i}其中 i≠1， 4(1， 4已經在 S中 )即需要對 wi和 w4+d4i進行比較，但我們在對 w3,w5,w7進行調整時可以發現由于 d43，d45， d47 ? E(G)即它們的權值為 ∞，所以調整時是沒有必要進行 比較的，在這里多進行了 3次比較。后面的各步也都出現類似的情況 (后略 )，尤其是當圖的邊數相對較少時更為明顯。 以 Dijkstra 算法為基礎算法進行優化的原因 Dijkstra算法與其他主流算法的比較 [5] 搜索速度比較 對 5張圖分別采用 Dijkstra算法、 A*算法、遺傳算法進行路徑規劃，他們各自花費的時間如表 。 表 三種算法在搜索速度上的對比 節點數 搜索速度 Dijkstra算法 A*算法 遺傳算法 16 1 1 2 32 4 2 4 43 7 3 6 62 15 5 9 78 25 7 12 由表 ：當地圖節點個數和弧的條數比較少時，三種算法所花費的時間差不多，當節點個數和弧的條數比較多時， A*算法最快，遺傳算法其次，Dijkstra算法最慢，而且這種差距將隨節點和弧數量的增加而變得更加明顯。對于實際地圖而言，由于節點與道路的數量一般都很的大， Dijkstra算法在搜索速度方 13 面弱勢明顯。 搜索成功率比較 對于具有 n個節點的地圖，其待規劃節點的個數為 n1（除起點節點外，其他均可作為待規劃節點），由于每個待規劃節點對應于一條最短路徑，所以對每張具有n個節點的 地圖而言，應該規劃出 n1條最短路徑。 對 5張地圖分別采用三種算法進行路徑規劃，三者各自搜索到最短路徑的情況如表 。表中括號外數據為各算法實際得到最短路徑數，括號內數據則為各算法實際得到路徑數和應該規劃出的最短路徑數 n1之比。 表 三種算法在搜索質量方面的對比 節點數 Dijkstra算法 A*算法 遺傳算法 16 15(100%) 12(80%) 15(100%) 32 31(100%) 25(81%) 29(94%) 43 42(100%) 32(76%) 38(90%) 62 61(100%) 40(66%) 56(92%) 78 77(100%) 45(58%) 71(92%) 由表 ：當地圖節點個數和弧數量比較多時， Dijkstra算法是一種遍歷算法，每次能保證 100%搜索到最短路徑，遺傳算法搜索到最短路徑的成功率比Dijkstra算法低一些， A*算法最低，且這種差距在節點數和弧數量越大時更加明顯。 14 第 3章 Dijkstra優化算法研究 多種 Dijkstra 優化算法的研究 [6] 第一類優化算法 ——減小算法中成功搜索的搜索范圍 減小算法中成功搜索的搜索范圍以盡 快到達目標節點。在對現實問題中的交通圖初始化為網絡拓撲圖時，雖然終點已知，而源點 尚未確定，但依據常識離案發地段最近的派出所應為案發地段所在轄區 派出所，或其周邊派出所，也就是源點的選取范圍可以確定。利用 MapObjects2組件提供 的 (expression)記錄集篩選方法，根據案發地段 (終點 )的不同，動態選取案發地段所在轄區及相鄰轄區的道路圖層及派出所圖層數據進行最短路徑查詢，從而有效地減少了拓撲圖中節點總數 n的值。 第二類優化算法 ——改進算法的存儲結構 在實際工作中，還要建立起空間數據結構。網絡數據結構使用的是 ―邊和節點 ‖的數據結構，該數據結構是建立在圖論的基礎上，節點可用來定義邊的連接關系。對于網絡數據的存儲，傳統的是采用圖論中的鄰接矩陣方法，其存儲量為 N N(N為網絡中節點數 )。通常的地理網絡，盡管節點很多，但與節點相關聯的節點數目并不多，一般都為稀疏圖，將會浪費大量的空間。若采用鄰接表的鏈式存儲結構，其存儲量為 E(E為節點列表中，同節點關聯的所有邊的數目 )，可節省大量的存儲空間，尤其是在表示與節點和邊相關信息較多的地理網絡時，更為有效。但鄰接表卻難 以判斷兩節點之間的關系，因此本文提出利用。 NET框架提供的特殊類Hashtable。 .NET框架包含特殊類，比如通常所說的集合類用于存儲對象。與數組類似，集合類可以把對象放入容器中，然后再取出．但集合的使用方法與數組不同，擁有用于插入和刪除項的專用方法。使用 Hashtable最大的優點就是大大降低數據存儲和查找的時間花費，幾乎可看成是常數時間。 15 本文對 Dijkstra 優化算法的研究 本文采用第一類優化算法減小搜索范圍的思路對 Dijkstra算法進行優化。 優化算法的目標 Dijkstra算法用來求解圖上從任 一節點 (源點 )到其余各節點的最短路徑。其時間復雜度為 O(N2)；采用鄰接矩陣存儲網絡拓撲結構，需要 (NN)的存儲空間，隨著節點數 N的增大，其計算效率和存儲效率越低。針對此問題，提出了 Dijkstra算法的改進，本文在對傳統 Dijkstra算法分析的基礎上，對其進行了優化，優化算法只對最短路徑上節點的鄰居做處理，而不涉及到其他節點。 優化算法思路 Dijkstra算法基本方法：設 wj是從源點 s到節點 j的最短路徑長度； pj是從 s到 j的最短路徑中 j點的前一節點。 S是標識集合； T是未標識集合； M是節點集合． dij提節點 i到節點 j的距離 (i與 j直接相連，否則 dij = ∞)．算法步驟如下： Step0： S = {s}； T = MS； wj = dij(j∈ T， s與 j直接相連 )或 wj = ∞(j ∈ T， s與 j不直接相連 )。 Step1：在 T中找到節點 i，使 s到 i的距離最小，并將 i劃歸到 S。 (可從與 s直接相連的 j中考慮 ) 若 dsi = min dsj j與 s直接相連，則將 i劃歸到 S中，即 S ={s， i}， T = T{i}； j∈ T pi =s。 Step2：修改 T中 j節點的 wj值： wj = min(wj,wi + dij)；若 wj值改變，則 pj = i． j∈ T i∈ S Step3：選定所有的 wj最小值，并將其劃歸到 S中： wi = min wj； S=S∪ {i}； T=T{i}；若 │S│= n, 所有節點已標識，則算法終 j∈ T 止，否則，轉人 Step2。 通過分析傳統 Dijkstra算法的基本思路，傳統 Dijkstra算法存在如下兩點不足： 16 (1)當從未標記節點集合 T中選定一個節點 k作為轉接點后時，需掃描未標記節點集合 T中的節點 j并更新其 wj值，而未標記節點集合 T中往往包含 大量與轉接節點 k 不直接相連的節點 i(即 dki = ∞)； (2)在未標記節點集合 T中選擇一個 w值最小的節點作為下一個轉接節點，然而下一個轉接節點往往是與標記節點集合 S中的節點直接相連的。 優化算法描述 基于上述兩點不足，對傳統 Dijkstra算法進行優化，算法優化思路為：首先從源點 s的鄰居集合 NBS(與 s直接相連的節點集合 )中選擇距離最小的鄰居節點 k作為轉接點，同時將劃歸到標識集合 S(初始時， S為 {s})。然后對 k鄰居集合與標識集合的差集 (NBk S)中節點的值進行更新，從標識集合 s中所有節點的鄰居集合 的并集與標識集合的差集 (∪ NBs S， i∈ S)中選擇一個 wk值最小的節點作為下一個轉接點，并劃歸到標識集合 S中。重復上述過程，直到所有的節點都被標識過，即 │S│=n，算法結束。 設 NBi為節點 i的鄰居集合； S為標識集合； wj是從源點 s到節點 j的最短路徑長度； pj是從 s到 j的最短路徑中 j點的前一節點； dij是節點 i到節點 j的距離。算法步驟如下： Step0：初始化 S = {s}； wi = dsi(i∈ NBs)；否則 = ∞(I ? NBs)； pi=s。 Step1：若 dsk = min dsj ，則 S = S ∪ { k}。 j∈ NBs Step2：修改 NBk S中的 wj值： wj = min { wj,wk +dkj }；若 wj值改變，則 pj = k。 j∈ NBs S Step3：選定 NBi S(i∈ S)中的 wj最小值，并將其劃歸到 s中： wk = min wj； S = S ∪ {k}；若 │s│= n；所有節點已標識，則算法終止， j∈∪ NBs–S i∈ S 否則，轉到 Step2． 圖 G7，對 G7分別用 Dijkstra算法和優化了的 Dijkstra算法進行求解，則可得從 v1到其余各節點的最短路徑。 17 圖 非負權值圖 經典 Dijkstra算法求解過程： Step0：初始化 S = (v1)， w1 = 0， T = (v2,v4, v3,v5, v6,v7)； Step1： w4 = d14 = mind1j = 2（ d12 = d14，任選其一，本文選 v4）， S = (v1,v4)， T = j∈ T (v2,v3,v5,v6,v7)； Step2： T = (v2,v3,v5,v6,v7) w2 = min{w2， w4 + d42}= min{2， 4}= 2， w3 = min{w3， w4 + d43}= min{5,5} = 5 2 = w2， w5 = min{w5， w4 + d45} = {∞， 3} = 3 2 = w2， w6 = min{w6， w4 + d46} = ∞， () w7 = min{w7， w4 + d47} = ∞，