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圓錐曲線與方程知識(shí)點(diǎn)總結(jié)(編輯修改稿)

2025-12-16 23:44 本頁面

　

【文章內(nèi)容簡介】變式訓(xùn)練 1：根據(jù)下列條件，求雙曲線方程。 x2y2 有共同漸近線，且過點(diǎn)（ 3， 2）（ 1）與雙曲線； 916x2y2 有公共焦點(diǎn)，且過點(diǎn)（ 3， 2）（ 2）與雙曲線 164 的漸近線為解：法一：（ 1）雙曲線 9163 4 令 x=3， y=177。4，因，故點(diǎn)（ 3， 2）在射線（ x≤0）及 x軸負(fù)半軸之間， 3 ∴ 雙曲線焦點(diǎn)在 x軸上 x2y2 設(shè)雙曲線方程為，（ a0， b0） ab 7 4 解之得：解之得： k=4 x2y2 ∴ 雙曲線方程為 128x2y2x2y2 評(píng)注：與雙曲線共漸近線的雙曲線方程為（ λ≠0），當(dāng) λ0時(shí)，焦 abab x2y2 點(diǎn)在 x軸上；當(dāng) λ0時(shí)，焦點(diǎn)在 y軸上。與雙曲線共焦點(diǎn)的雙曲線為 ab y2x222 （ a+k0， bk0）。比較上述兩種解法可知，引入適當(dāng)?shù)膮?shù)可以提高解題質(zhì)量，特別是充分利用含參數(shù)方程的幾何意義，可以更準(zhǔn)確地理解解析幾何的基本思想。例 2 雙曲線型自然通風(fēng)塔的外形，是雙曲線的一部分繞其虛軸旋轉(zhuǎn)所成的曲面，它的最小半徑為 12 m，上口半徑為 13 m，下口半徑為 25 m，高 55 標(biāo)系，求出此雙曲線的方程（精確到 1m） . 解：如圖 8—17，建立直角坐標(biāo)系 xOy，使 A 圓的直徑 AA′在 x 軸上，圓心與原點(diǎn)重合 .這時(shí) x2y2 ∴ 雙曲線方程為 944 x2y2 （ 2）設(shè)雙曲線方程為（ a0， b0） ab 則解之得： x2y2 ∴ 雙曲線方程為 128 x2y2 （ λ≠0）法二：（ 1）設(shè)雙曲線方程為 916 上、下口的直徑 CC′、 BB′平行于 x軸，且，設(shè)雙曲線的方程 x2y2 為（ a0,b0）令點(diǎn) C 的坐標(biāo)為（ 13， y），則點(diǎn) B 的坐標(biāo)為（ 25， y－55）因?yàn)辄c(diǎn) B、 C在雙曲線上，所以 12b212b ∴ 9161 ∴ 4 x2y2 ∴ 雙曲線方程為 944 （ 1）設(shè)雙曲線方程為 ∴ 8 （負(fù)值舍去） .代入方解方程組由方程（ 2）得 (2) 5b 252程（ 1）得化簡得 19b+275b－ 18150=0 （ 3） ( x2y2 解方程（ 3）得 b≈25 (m).所以所求雙曲線方程為： 144625 變式訓(xùn)練 2：一炮彈在某處爆炸，在 A處聽到爆炸聲的時(shí)間比在 B處晚 2 s. （ 1）爆炸點(diǎn)應(yīng)在什么樣的曲線上？（ 2）已知 A、 B兩地相距 800 m，并且此時(shí)聲速為 340 m/s，求曲線的方程 . 解（ 1）由聲速及 A、 B兩處聽到爆炸聲的時(shí)間差，可知 A、 B兩處與爆炸點(diǎn)的距離的差，因此爆炸點(diǎn)應(yīng)位于以 A、 B為焦點(diǎn)的雙曲線上 . 因?yàn)楸c(diǎn)離 A處比離 B處更遠(yuǎn)，所以爆炸點(diǎn)應(yīng)在靠近 B處的一支上 . （ 2）如圖 8—14，建立直角坐標(biāo)系 xOy，使 A、 B兩點(diǎn)在 x軸上，并且點(diǎn) O與線段 AB 的中點(diǎn)重合 . 設(shè)爆炸點(diǎn) P 的坐標(biāo)為（ x,y），則即 2a=680,a= ∴2c=800,c=400,b2=c2－ a2=44400. （ 1）解：依題意有：解得 y2 可得雙曲線方程為 3 2 x2y2 ∵ 0,∴ x： 11560044400 (x0). 1 例中，固定底邊 BC，讓頂點(diǎn) A移動(dòng)，已知，且，求頂 2 （ 2）解：設(shè) M(x0,y0),由雙曲線的對稱性 ,可得設(shè) P(xP,yP),則 2 22 點(diǎn) A的軌跡方程．解：取 BC的中點(diǎn) O為原點(diǎn)， BC所在直線為 x軸，建立直角坐標(biāo)系，因為，所以， c(2,0)．利用正弦定理，從條件得，即．由雙曲線定義知，點(diǎn) A的軌跡是 B、 C為焦點(diǎn)，焦距為 4，實(shí)軸長為 2，虛軸長為 23的雙曲線右支， y2 ．點(diǎn) (1， 0)除外，即軌跡方程為 2 12 2y0 又 322 所以同理所以 22 x2y2 變式訓(xùn)練 3：已知雙曲線的一條漸近線方程為，兩條 ab 準(zhǔn)線的距離為 l. （ 1）求雙曲線的方程；（ 2）直線 l過坐標(biāo)原點(diǎn) O且和雙曲線交于兩點(diǎn) M、 N，點(diǎn) P 為雙曲線上異于 M、 N的一點(diǎn)，且直線 PM， PN的斜率均存在，求 kPMkPN的值 . x2 的左、右頂點(diǎn)分別為 A A2，垂直于 x軸的直線 m與雙曲例 4. 設(shè)雙曲線 C： 2 線 C交于不同的兩點(diǎn) P、 Q。（ 1）若直線 m與 x軸正半軸的交點(diǎn)為 T，且，求點(diǎn) T 的坐標(biāo)；（ 2）求直線A1P 與直線 A2Q的交點(diǎn) M的軌跡 E的方程；（ 3）過點(diǎn) F（ 1， 0）作直線 l與（ Ⅱ ）中的軌跡 E交于不同的兩點(diǎn) A、 B，設(shè) ， 9 若求（ T 為（ Ⅰ ）中的點(diǎn)）的取值范圍。解：（ 1）由題，得，設(shè) 則由即 ① 2 x02 又 P(x0,y0)在雙曲線上，則 ② 2 x2 故可設(shè)直線 l的方程為，代入中，得 2 設(shè) 且則由根與系數(shù)的關(guān)系，得 ⑤ 20202020 聯(lián)立 ① 、 ② ，解得由題意， ∴ 點(diǎn) T 的坐標(biāo)為（ 2， 0） …………3 分（ 2）設(shè)直線 A1P 與直線 A2Q的交點(diǎn) M的坐標(biāo)為（ x， y）由 A P、 M三點(diǎn)共線，得 2 . …… ⑥ …………2 分 2 ∵ ∴ 有，且將 ⑤ 式平方除以 ⑥ 式，得 ③ …………1 分由 A Q、 M三點(diǎn)共線，得 y1y24k214k2 …………1 分由 ④ …………1 分聯(lián)立 ③ 、 ④ ，解得 511 2 . …………1 分 x 分 ∵ ∵ P(x0,y0)在雙曲線上， 2 ()2 ∴ 2x 又故 2 2 2 x2 分 ∴ 軌跡 E的方程為 2 （ 3）容易驗(yàn)證直線 l的斜率不為 0。 10 288 令 x2y2 所以雙曲線 C的方程為。 912 （ 2）由雙曲線 C的方程可得又所以 △ A1PA2的重點(diǎn) G（ 2,2）設(shè)直線 l的方程為代入 C的方程，整理得 12711712 ∴ ，即 7 4

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