數字邏輯電路-第二章t(編輯修改稿)

　

【文章內容簡介】 異或邏輯 (XOR) 邏輯表達式為 : F = A⊕ B = A B ＋ A B 異或 邏輯真值表 異或 門 的邏輯符號 A B F 0 0 0 1 1 0 1 1 0 1 1 0 ＝ 1 F A B F B A ⊕ F A B 5. 同或邏輯（ XNOR） 邏輯表達式為 : F = A⊙ B = A B ＋ A B 同或 邏輯真值表 同或 門 的邏輯符號 A B F 0 0 0 1 1 0 1 1 1 0 0 1 ＝ 1 F A B F B A ⊙ F A B 異或運算與同或運算的關系： 一對互補運算 1. A⊕ B = A⊙ B A⊙ B = A⊕ B 2. (A⊕ B) 39。 = A⊙ B (A⊙ B) 39。 = A⊕ B 3. A⊕ B ⊕ C = A⊙ B ⊙ C 例：證明 A⊕ B = A B ＋ A B = A B A B = ( A ＋ B )( A ＋ B) = A B ＋ A B = A ⊙ B 證明 (A⊕ B) 39。 = (A B ＋ A B) 39。 = ( A ＋ B )( A ＋ B ) = A B ＋ A B = A ⊙ B 證明 A⊕ B ⊕ C = A ( B⊕ C ) ＋ A ( B ⊕ C ) = A ( B⊕ C ) ＋ A ( B ⊙ C ) = A ( B C ＋ BC ) ＋ A ( B C ＋ BC ) = A B C ＋ A B C ＋ A B C ＋ ABC A ⊙ B ⊙ C = A ( B ⊙ C ) ＋ A ( B ⊙ C ) = A ( B⊕ C ) ＋ A ( B ⊙ C ) = A ( B C ＋ BC ) ＋ A ( B C ＋ BC ) = A B C ＋ A B C ＋ A B C ＋ ABC = A⊕ B ⊕ C 所以： 當 變量為 2時， 同或運算 與 異或運算 的之間具有 互補 關系； 當 變量為 3時， 同或運算 與 異或運算 的之間具有 相等 關系。 由代入規則可以證明： A1⊕ A2⊕ A3⊕ … ⊕ An = A1⊙ A2⊙ A3⊙ … ⊙ An n 為偶數 A1⊕ A2⊕ A3⊕ … ⊕ An = A1⊙ A2⊙ A3⊙ … ⊙ An n 為奇數 當 變量為偶數 時， 同或運算 與 異或運算 之間具有 互補 關系 ； 當 變量為奇數 時， 同或運算 與 異或運算 之間具有 相等關系 。 即： 異或運算和同或運算的基本代數性質 0—1律 (a) A⊕ 0 =A A⊕ 1 =A (b) A⊙ 0 =A A⊙ 1 =A 交換律 (a) A⊕ B =B⊕ A (b) A⊙ B =B⊙ A 分配律 (a) A(B⊕ C) =AB⊕ AC (b) A＋ (B⊙ C) =(A＋ B)⊙ (A＋ C) 結合律 (a) A⊕ (B⊕ C) = (A⊕ B)⊕ C (b) A⊙ (B⊙ C) =(A ⊙ B )⊙ C 調換律 (a)若 A⊕ B = C則 A⊕ C = B ， C⊕ B = A (b) 若 A⊙ B = C則 A⊙ C = B ， C⊙ B = A 依照邏輯運算的規則，一個邏輯命題可以用多種形式的邏輯函數來描述，而這些邏輯函數的真值表都是相同的。 邏輯函數的基本表達式 Algebraic Forms of Switching Functions = A B AB 與非式 = ( A＋ B ) ＋ ( A＋ B ) 或非式 = A B ＋ A B 與或非式 = ‥‥‥ = ( A＋ B )( A＋ B ) 或與式 POS = A B ＋ A B 與或式 SOP 如： F = A⊕ B 邏輯函數的標準形式 Canonical Forms of Switching Functions 一個邏輯命題的三種表示法： 真值表 表達式 卡諾圖 三者之間的關系： ①真值表是邏輯函數最基本的表達方式，具有唯一性； ②由真值表可以導出邏輯表達式和卡諾圖； ③由真值表導出邏輯表達式的兩種標準形式： 最小項之和 The canonical SOP(the Sum Of Products) 最大項之積 The canonical POS(Product Of Sums) 1. 最小項 minterm 設有 n 個變量，它們組成的 與項 中每個變量或以原變量或以反變量形式出現一次，且僅出現一次，此與項稱之為 n 個變量的最小項。 對于 n 個變量就可構成 2n個最小項， 分別記為 mi 。 其中： 下標值 i的取值為當各個最小項變量按一定順序排好后，用 1 代替其中的原變量， 0 代替其中的反變量，便得到一個 二進制數 ，該二進制數的 等值十進制 即為 i 的值。 例如： 3 變量的 8 個最小項可以表示為： ABC = m0 ABC = m1 ABC = m2 ABC = m3 ABC = m4 ABC = m5 ABC = m6 ABC = m7 為區別不同 n 值的相同 mi ，可記為： m i n 2. 最大項 maxterm 設有 n 個邏輯變量，它們組成的 或項 中，每個變量或以原變量形式或以反變量形式出現一次，且僅出現一次，此或項稱為 n 變量的最大項。 對于 n 個變量可以構成 2n個最大項，分別記為 Mi 。 其中： 下標值 i的取值規則與最小項中 i的取值規則相反，即將各變量按一定次序排好后，用 0 代替其中的原變量，用 1 代替其中的反變量，得到一個 二進制數 ，該二進制數的 等值十進制 即為 i 的值。 例如，三變量的最大項記為： A＋ B＋ C = M0 A＋ B＋ C = M1 A＋ B＋ C = M2 A＋ B＋ C = M3 A＋ B＋ C = M4 A＋ B＋ C = M5 A＋ B＋ C = M6 A＋ B＋ C = M7 為區別不同 n 值的相同 Mi ，可記為： M i n 3. 最小項與最大項的性質 例：一個三變量函數 F(A， B， C)，它的真值表及其最小項及最大項的對應關系如下表。 行號 A B C F(A， B， C) 最小項及代號 最大項及代號 0 1 2 3 4 5 6 7 000 001 010 011 100 101 110 111 F( 0,0,0)=1 F( 0,0,1)=0 F( 0,1,0)=0 F( 0,1,1)=1 F( 1,0,0)=1 F( 1,0,1)=0 F( 1,1,0)=1 F( 1,1,1)=1 A B C = m0 A B C = m1 A B C = m2 A B C = m3 A B C = m4 A B C = m5 A B C = m6 A B C = m7 A+B+C = M0 A+B+C = M1 A+B+C = M2 A+B+C = M3 A+B+C = M4 A+B+C = M5 A+B+C = M6 A+B+C = M7 最小項與最大項具有如下性質： ⑴ 對于任意 最小項 ， 只有一組 變量組合的取值可使其值 為 1；對于任意 最大項 ， 只有一組 變量組合的取值可使其值 為 0。 ⑶ 任意兩個最小項之積必為 0，即 ： mi mj = 0(i≠j) 任意兩個最大項之和必為 1，即 ： Mi＋ Mj=1(i≠j) ⑵ n變量的所有最小項之和必為 1，記為： n變量的所有最大項之積必為 0，記為： ∑ m i = 1 2n 1 i = 0 ∏ M i = 0 2n 1 i = 0 由上表可知，最小項與最大項具有如下性質 ⑷ 同變量數下標相同的最小項和最大項互為反函數 即： m i = M i M i = m i 則： m i ? M i = 0 且 m i＋ M i = 1 4. 函數的最小項標準式 邏輯函數被表達成一系列 乘積項之和 ，則稱之為 積之和 表達式 (SOP)，或稱為 與或表達式 。 如果構成函數的積之和表達式中 每一個乘積項 (與項 )均為最小項 時，則這種表達式稱之為 最小項標準式 (The canonical SOP)， 且這種表示是 唯一 的。 如 ： F(A,B,C) = AC + AB + BC = ABC + ABC + ABC + ABC = m2 ＋ m3 ＋ m5 ＋ m7 = ∑m3(2,3,5,7) 邏輯代數表達式－ 與或式 的常用概念： 與項 ：一個或一個以上的因子（變量）用與運算符號連 接起來的 式子。如， AB， AC等。 標準與項 （ 最小項 ）：包含所討論問題中的每一個變量， 該變量在最小項中不是原變量就是反變量。如 4變量函數 中， ABCD， ABCD。 與或式 （ SOP）：一個或一個以上的與項用或運算符號 連接起來的式子。如， AB+AB， ABC+AD+C。 標準和 （ 標準與項和 ， 標準與或式 ）：僅是一個與或表 達式，該式中所有的與項都是標準與項（最小項）。 最簡與或式 ：具有最少與項的與或式。如： ABC+ABC+ABC+ABC+ABC＝ AB+AB+ABC ＝ AB+AB+AC ＝ AB+AB+BC 邏輯代數表達式－ 與或式 的常用概念： 與項 ：一個或一個以上的因子用與運算符號連接起來的 式子。如， AB， AC等。 標準與項 （ 最小項 ）：包含所討論問題中的每一個變量， 該變量在最小項中不是原變量就是反變量。如 4變量函數 中， ABCD， ABCD。 與或式 （ SOP）：一個或一個以上的與項用或運算符號 連接起來的式子。如， AB+AB， ABC+AD+C。 標準和 （ 標準與項和 ， 標準與或式 ）：僅是一個與或表 達式，該式中所有的與項都是標準與項（最小項）。 最簡與或式 ：具有最少與項的與或式。如： ABC+ABC+ABC+ABC+ABC＝ AB+AB+ABC ＝ AB+AB+AC