4-沖擊波與爆轟波-(編輯修改稿)

　

【文章內容簡介】 （ 控制體體積不變 ， 與 t無關 ） （ 1） （ ， ， ） —— 連續方程 （ 當地觀點 ） 物質導數 （ Lagrange導數 ） 的變換關系： 稱為 Euler導數 。 物理量的物質導數 （ 或稱隨體導數 ） 是指某個封閉系統中的流體在運動過程中 ， 它所具有的物理量 F（ 如： ） 對時間的變化率 , 是 物理量 F隨流體質點運動時的變化率 。 txAxxAuAuAu????????? )())(( ????xtAt xAxxAu ????? ??????? ??? )()(xA ?,? 0)( ?????? xAutA ??),( tx?? ? ),( txuu ? )(xAA ?tF?????, TPV ? 氣體一維流動的基本方程組 tFdtdFt ????? 0lim物質導數的定義： 以求加速度為例，給出 物質導數的微分變換關系 ： 設流體質點在流場中沿運動軌跡 C運動，從當地觀點出發，流體速度為： 假定 t時刻 ， 流體微團在 M點 ， 速度為 ， 經時刻 后 ，運動到 N點 ， 速度為： 加速度 （ 2） 由于流場的非均勻性和不定常性，該微團的速度在運動過程中不止經歷了 的變化，而且也經歷了 的變化。當然 也與時間 長短有關。 ),(),( tzyxutruu ???? ??),( tMu? t?),( ttNu ???ttMuttNudtudt ????????),(),(l i m0?????t?kzjyixr ???? ???????r??t?M N ),( tMu?),( ttNu ??? 氣體一維流動的基本方程組 （ 2） 式可寫為： （ 3） 代表沿 S方向移動單位長度引起的速度變化 ， 而如 今單位時間移動了 u的距離 ， 所以 S方向的速度變化為 。 對一維情況有： （ 4） ttMutNuttNuttNudtudtt ????????????),(),(lim),(),(lim00?????NMtMutNutNMttNuttNuMNMNtt),(),(l i ml i m),(),(l i m00???? ??????????????StMuuttMu?????? ),(),( ??StMu?? ),(?Suu???xuutudtdu?????? 氣體一維流動的基本方程組 對于 等 ， 亦有同樣的變化關系： （ 5） 這里， ：全導數，物質導數，隨體導數， Lagrange導數。 ：當地時間導數 ， 局部導數 ， Euler導數 。 反映了流場的不定常性 ， 反映了流體微團流過空間固定點上量 F對時間的變化率 。 ：遷移導數 ， 對流導數 ， 反映了流場的非均勻性， 是流體微團運動到不同位置時所引起的 F的變化。 實際上， F=F(x,y,z,t), 而 x=x(t), y=(t), z=z(t) 所以： ?,PxFutFdtdF??????dtdFtF??xFu??dtdzzFdtdyyFdtdxxFtFdtdF???????????? 三維（直角坐標系） 由（ 5）式，可將（ 1）式化為： （ 6） —— 隨體觀點的連續方程 0)( ???? xAuAdtd ??)6(0)(0)()( ??????????????????? xAuxAuxAudtdAxAuxudtdA ???????歐拉方程 — 動量守恒方程（運動方程）的推導 ： 取下圖的控制體 （ 閉口系 ， 隨體觀點 ， 即 Lagrange方法 ） ， 設微元體 dx的側面積為 S， 該質點具有的速度為 u， β為管壁切線與 x軸的夾角 （ 如果管壁是光滑的 ， 則 β是無窮小量 ） 顯然： ， 即： Δ x微元體 x1面受到的壓力為 PA， x2面受到的壓力為： 側面所受力為： ， 即： ?sin?SdA?sinSdA ?))(( dAAxxPP ??????SxxPPP??????2SxxPP ????? )21(Δx Pn β PA ))(( dAAxxPP ??????Pn x2 x1 該力在 x方向投影為： dAxPPSxxPP ?????????? )21(s i n)21( ??co s)21( SxxPP ?????在與 x垂直方向投影為： （互相抵消） 微元體 x方向受到的總壓力為（不考慮粘性力，重力等）： ＝ 忽略二階小量 ,總壓力為： 按 Newton第二定律 ： ?? c o s)21(c o s)21()21())((SxxPPSxxPPdAxxPPdAAxxPPPA???????????????????????dAxxPPdAAxxPPPA )21())(( ???????????xxPA ????dtduxAxxPA ?????? ?( F ＝ m a ) 動量守恒方程 即： （ 7） 或： （ 8） —— 歐拉方程（動量守恒方程） 01 ???? xPdtdu ?01 ????????? xPxuutu ?由開口體系 （ Euler觀點推導動量方程 ） ： 由 x1面流入 dx的動量： 由 x2面流出 dx的動量： （ 忽略二階以上小量 ） ＝ ＝ uAu ??))(())(( dxxuudxxuudxxAAdxx ???????????? ??))()()(( dxxuudxxAAdxx uu ?????????? ??))()(( dxxuudxxAuAu ?????? ??dxx uAuuAu ? ???? )( ??動量守恒方程 凈流入的動量：流入－流出＝ dxx uAu? ??? )( ?dx x1 x2 ρAu ρAu+ dxxAu???微元體 dx受的合外力為： 單位時間內，微元體動量變化為： （ 忽略二階小量 ） dxxPA ???)]21()21)(21[( dxxuudxdxxAAdxxt ????????????? ??)]21())(21[( dxxuudxdxx AAt ??????????? ??dxdxxAuAut ??????? ))(21( ?? )( dxAut ???? ?x 動量守恒方程 動量定理 ：動量的增加率＝凈增加動量 +微元體受的外力 ， 即： （ 與 t無關 ） 即： dxx uAudxxPAdxAut ? ?????????? )()( ??xuAuxPAutA ?????????? )()( ??dxA,xPAxuAuxAuutuA???????????? ??? )()(xPAxuAuxAuutAutuA??????????????? ???? )(xPAxAutAudtduA?????????? ))(( ????xPdtdu?????)0)(( ?????? xAutA ?? （ 1）式，質量守恒方程 能量方程的推導 （ 忽略熱損失 ， 不考慮非體積力做功 ， 只計體積功 。開口系 ， Euler方法 ） ： 單位質量氣體總能量為： （ e ：單位質量內能 ， ：單位質量動能 ） 單位時間內通過 x1面進入微元體 Δx的能量： 單位時間內通過 x2面流出微元體 Δx的能量： x1面上 ， 外力單位時間內對微元所做的功為： （ 功率） 221 ue ? 221u)2( 2ueAu ??xxueAuueAu ??????)]2([)2(22 ??PAux2面上微元體單位時間內克服外力所做的功為： 微元體 Δx的總能量變化率為： xxP A uP A u ???? )(txAue???? ])21[( 2 ?能量方程 Δx