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高一數學同角三角函數的基本關系與誘導公式(編輯修改稿)

2025-12-17 21:11 本頁面

　

【文章內容簡介】 s in α － c o s α )2＝ 1 － 2 s i n α c o s α ＝ 1 － ( －79) ＝169， ∴ s in α － c o s α ＝43. ( 2 ) s in3(π2－ α ) ＋ c o s3(π2＋ α ) ＝ c o s3α － s i n3α ＝ ( c o s α － s i n α )( c o s2α ＋ c o s α s in α ＋ s in2α ) ＝－43 ( 1 －718) ＝－2227. 當已知 s i n α ＋ co s α ( 或 s i n α － co s α ) 的值，求 s i n α － co s α ( 或 s i n α ＋ co s α ) 或 s i n α co s α 的值時，常采用整體思想，即將其兩邊平方，所以 s i n α c o s α 與 s i n α 177。 c o s α 及 s i n 2 α ＋ co s 2 α ＝ 1 之間存在必然的聯系，即 s i n α c o s α ＝12[ ( s i n α ＋ c o s α ) 2 － 1] ＝12[1 － ( s i n α － co s α ) 2 ] ，運用此結論，可“ 知一求二 ” 【例 1 】 ( 2 0 1 0 年高考全國卷 Ⅰ ) 記 c o s ( － 8 0 176。 ) ＝ k ，那么 t a n 1 0 0 176。等于 ( ) ( A )1 － k 2k ( B ) －1 － k 2k ( C )k1 － k 2 ( D ) －k1 － k 2 解析： ∵ c o s ( － 80176。 ) ＝ k ， ∴ c o s 8 0 176。＝ k ， ∴ s in 8 0 176。＝ 1 － k2， ∴ ta n 8 0 176。＝s in 8 0 176。c o s 8 0 176。＝1 － k2k， ∴ ta n 1 0 0 176。＝ t a n ( 1 8 0 176。－ 8 0 176。 ) ＝－ ta n 8 0 176。＝－1 － k2k，故選 B. 【例 2 】 ( 2 0 1 1 年安徽合肥市模擬 ) 已知 s i n α 是方程 5 x 2 － 7 x － 6 ＝ 0 的一個根，且 α 是第三象限角，則s i n ? － α －3π2? c o s ?3π2－ α ? t a n 2 ? π － α ?co s ?π2－ α ? s i n ?π2＋ α ?＝ _ _ _ _ _ _ _ _ . 解析： ∵ 方程 5 x2－ 7 x － 6 ＝ 0 的根為 x 1 ＝ 2 ， x 2 ＝－35，由題意知， s i n α ＝－35， ∴ c o s α ＝－45， t a n α ＝34. ∴ 原式＝co s α ? － s i n α ? t an2αs i n α c o s α＝－ t a n2α ＝－916. 答案：－916 【例 3 】 ( 2020 年濟南市模擬 ) 在 △ ABC 中，若 s i n ( 2π － A ) ＝－ 2 s i n ( π － B ) ， 3 co s A ＝－ 2 co s ( π － B ) ，則角 C 等于 ( ) ( A )56π ( B )π6 ( C )π12 ( D )7π12 解析：由已知得??? s in A ＝ 2 s in B ，3 c o s A ＝ 2 c o s B . ①② ①2＋ ②2得 2 c o s2A ＝ 1 ，即 c o s A ＝ 177。22. ( 1 ) 當 c o s A ＝22時， c o s B ＝32，又 A 、 B 是三角形內角， ∴ A ＝π4， B ＝π6， ∴ C ＝ π － ( A ＋ B ) ＝712π. ( 2 ) 當 c o s A ＝－22時， c o s B ＝－32. 又 A 、 B 是三角形內角， ∴ A ＝34π ， B ＝56π ，不合題意．所以 C ＝712π ，故選 D. 錯源：非等價變形產生增解【例題】已知 θ ∈ ( 0 ， π ) ， s i n θ ＋ co s θ ＝3 － 12，則 t a n θ 的值為 ( ) ( A ) － 3 或－33 ( B ) －33 ( C ) － 3 ( D ) －32 錯解：由 s in θ ＋ c o s θ ＝3 － 12兩邊平方得： 1 ＋ 2 s in θ c o s θ ＝ 1 －32，即 s in θ c o s θ ＝－34， ∴ s in θ c o s θ ＝s in θ c o s θs in2θ ＋ c o s2θ＝tan θ1 ＋ ta n2θ＝－34 解之得 ta n θ ＝－ 3 或 ta n θ ＝－33，故選 A.

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