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動態規劃的基本概念(編輯修改稿)

2025-09-01 03:53 本頁面

　

【文章內容簡介】續階段的總體最優，即關于整個后部子過程的最優決策。對此，貝爾曼在深入研究的基礎上，針對具有無后效性的多階段決策過程的特點，提出了著名的多階段決策的最優性原理： “整個過程的最優策略具有這樣的性質：即無論過程過去的狀態和決策如何，對前面的決策所形成的狀態而言，余下的諸決策必須構成最優策略。” 簡而言之，最優性原理的含意就是：最優策略的任何一部分子策略也必須是最優的。如例 1， A— B2— C1— D2— E是由 A到 E的最短路線，我們在該路線上任取一點 C1 ，按照最優性原理 C1— D2— E應該是 C1到 E的最短路。很容易用反證法證明這一結論的正確性，從而說明最優性原理的正確性。按最優性原理，可以將例 1分成 A— B— C— D— E 4個階段，由后向前逐步求出各點到 E的最短線路，直至求出 A至 E的最短線路。 K=4時，出發點有 D1， D2， D3，記 f4（ Di）（ i=1,2,3）為 Di到 E的最短距離； u4(Di)表示從狀態 Di出發采取的決策。顯然： f4（ D1） =7， u4(D1)=E f4（ D2） =8， u4(D2)=E f4（ D3） =6， u4(D3)=E K=3時，出發點有 C1， C2， C3 f3（ C1） =min｛ d（ C1D1） +f4（ D1） ,d（ C1D2） +f4（ D2）｝ =min｛ 4+7,2+8｝ =10, u3(C1)= D2 f3（ C2） =min｛ d（ C2D2） +f4（ D2） ,d（ C2D3） +f4（ D3）｝ =min｛ 5+8,7+6｝ =13, u3(C2)= D2或 D3 f3（ C3） =min｛ d（ C3D2） +f4（ D2） ,d（ C3D3） +f4（ D3）｝ =min｛ 10+8,9+6｝ =15, u3(C3)= D3 K=2時，出發點有 B1， B2， B3 f2（ B1） =min｛ d（ B1C1） +f3（ C1） ,d（ B1C2） +f3（ C2）｝ =min｛ 6+10,4+13｝ =16, u2(B1)= C1 f2（ B2） =min｛ d（ B2C1） +f3（ C1） ,d（ B2C3） +f3（ C3）｝ =min｛ 3+10,1+15｝ =13, u2(B2)= C1 f2（ B3） =min｛ d（ B3C2） +f3（ C2） ,d（ B3C3） +f3（ C3）｝ =min｛ 8+13,4+15｝ =19, u2(B3)= C3 K=1時，出發點只有 A d（ AB1） +f2（ B1） 4+16 f1（ A） =min d（ AB2） +f2（ B2） = 5+13 =18, d（ AB3） +f2（ B3） 3+19 u1(A)= B2 由 f1（ A） =18，可知從起點 A到終點 E的最短距離為 18。為了找出最短線路，再按計算順序反推回去，可求出最優決策序列，即由 u1(A)= B2 ， u2(B2)= C1 ， u3(C1)= D2， u4(D2)=E 組成最優策略，也就是最短線路為： A— B2— C1— D2— E 從上面的例子不難看出，對于最短線路問題，有如下的遞推關系（函數方程）： fk（ xk） =min｛ d（ xk,uk(xk)） +fk+1（ T(xk, uk)）｝ fn+1（ xn+1） =0 k=n,n1,… ,1 一般情況下，多階段決策問題存在下面的遞推關系： fk（ xk） = o

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