線性代數第一章n階行列式【哈工大版】(編輯修改稿)

　

【文章內容簡介】 質 1 行列式與它的轉置行列式相等 說明： 轉置即行列互換 行列位置相等 . 行列式 稱為行列式 的轉置行列式 . TD D記 nnaaa?2211???nnaaa2112??2121nnaaa?D ???2121nnaaa??nnaaa2112?TDnnaaa?2211證明 ? ?的轉置行列式記 ijaD d e t? ,212222111211nnnnnnTbbbbbbbbbD???????????? ?,2,1, njiab jiij ???即按定義 ? ? ? ? .11 2121 2121 ?? ???? nppptnppptT nn aaabbbD ?? 又因為行列式 D可表示為 ? ? .1 2121? ?? nppptnaaaD ?故 .TDD ? 證畢 例： 13 1 4 2 3 224TD ? ? ? ? ? ? ?則 2 3 22 0 50 1 2D ??12 1 4 2 3 234D ? ? ? ? ? ? ?121212021???D練習 : 寫出以下兩個行列式的轉置行列式，并證明 D=DT： 性質 2 互換行列式的兩行（列） ,行列式變號 . 證明 設行列式 ,2122221112111nnnnnnbbbbbbbbbD???????????是由行列式 變換 兩行得到的 , ? ?ijaD d e t? ji,于是 ? ?nji npjpippt bbbbD ???111 1? ??? ? nji npjpippt aaaa ???111? ??即當 時 , jik ,? 。kpkp ab ? 當 時 , jik ,?, ipjpjpip abab ??D 推論 如果行列式有兩行（列）完全相同，則此行列式為零 . 證明 互換相同的兩行，有 .0?? D,DD ??互換第一，第二行，得： 121 4 2 3 234D ? ? ? ? ? ? ?例 343 2 1 4 212? ? ? ? ?121 2 1 2 012D ? ? ? ? ? ?設 練習 驗證性質 2 571853266571 853266 825567361性質 3 行列式的某一行（列）中所有的元素都乘以同一數 ，等于用數 乘此行列式 . k knnnniniinaaakakakaaaa?????????????????212111211nnnniniinaaaaaaaaak?????????????????212111211?推論 行列式的某一行（列）中所有元素的公因子可以提到行列式符號的外面． 注：當 k= 1時， 2 6 14 1 3 72 0 5 2 2 0 50 1 2 0 1 2D ? ? ? ?例 11 12 11212ni i inn n nna a aa a aa a a? ? ?11 12 11212ni i i nn n nna a aa a aa a a??,13523570503253????例如 2770103535???????235705032532770103535???所以 )27(5 ???? 135?135?第二列提取 5倍 性質４ 行列式中如果有兩行（列）元素成比例，則此行列式為零． 證明 nnnniniiiniinaaakakakaaaaaaa?????????????????????????21212111211nnnniniiiniinaaaaaaaaaaaak?????????????????????????21212111211?.0?1 2 02 4 2 01 2 1D ??例如第 1行，第 2行成比例 性質 5 若行列式的某一列（行）的元素都是兩數之和 . nnnininnniiniiaaaaaaaaaaaaaaaD??????????)()()(2122222211111211???????則 D等于下列兩個行列式之和： nnninnininnninniniaaaaaaaaaaaaaaaaaaD?????????????????????????122211111122211111例如 性質６ 把行列式的某一列（行）的各元素乘以同一數然后加到另一列 (行 )對應的元素上去，行列式不變． njnjninjjinjiaaaaaaaaaaaa?????????????12222111111njnjnjninjjjinjjijiaakaaaaakaaaaakaaakrr?????????????)()()(1222221111111?????k例如 3 2 5 30 5 07 3 5 2D????例 計算 3 0 30 5 07 3 5 2D???讓第 1列加到第 3列，得 3 0 00 5 0 ( 3 ) ( 5 ) 9 1 3 57 3 5 9D?? ? ? ? ? ? ? ?讓第 2行乘以 5加到第 1行，得 分析：利用性質把 D化為上（下）三角行列式 二、應用舉例 計算行列式常用方法：利用運算 把行列式化為上三角形行列式，從而算得行列式的值 ． ji krr ?1 1 1 2 12 2 2000nnnna a aaaa例：計算行列式 分析： 第二列有一個 0，先互換第二列第一列 記為 c(1,2) 行 row,簡記 r；列 column 簡記 c 3 1 1 25 1 3 42 0 1 11 5 3 3D???????1 1 1 2 12 2 23 1 1 205 1 3 42 0 1 1001 5 3 3nnnna a aaaDa???? ? ???? 行 row, 簡記 r；列 column 簡記 c 解： 3 1 1 25 1 3 42 0 1 11 5 3 3D???????(1, 2)c1 3 1 21 5 3 40 2 1 15 1 3 3???????[ 2 1 ( 1 )]r ??1 3 1 20 8 4 60 2 1 15 1 3 3???????[ 4 1 (5 )]r ?1 3 1 20 8 4 60 2 1 10 16 2 7??????(2,3)r1 3 1 20 2 1 10 8 4 60 16 2 7?????[3 4 ( 2 )]r ?1 3 1 20 2 1 10 0 8 100 16 2 7????[ 4 2 ( 8 )]r ??1 3 1 20 2 1 10 0 8 100 0 10 15????5[ 4 3 ( ) ]4r ?1 3 1 20 2 1 10 0 8 100 0 0 5 / 2???51 2 8 402? ? ? ? ?例 2 2101044614753124025973313211???????????D3??2101044614753124025973313211???????????D3? ?解 2101044614753124022022013211312?????????? rr2101044614753140202022013211?????????2101044614753124022022013211312?????????? rr? ?2???? ?3???12 2rr ?? ??? 4?42 rr ?2220020220140203512013211????????? 2220035120140202022013211?????????14 4rr ?13 3rr ?2220001000211003512013211????????34 rr ?2220020220211003512013211?????????23 rr ??? ?2???6000001000211003512013211????????? ?? ?? ?612 ?????45 4rr ? .12?6400001000211003512013211????????35 2rr ?4??nnnnnnnnaaaaaaaaaaaaaaaa?????????321333323122322211131211綜上可知，化三角形行列式的一般步驟如下 000010002 ??00將 a11的下方化為 0的過程中，若 （ 1） 011 ?a，則可通過換行（列）使 。011 ?a（ 2） 11a的下方化為 0時，其它元素出現分數，則可通過性質 11a“不漂亮”，即 變化 a11，以盡量避免出現分數 . a22 、 a33 … … 的下方化為 0的過程依此類推 . 0步驟例 3計算 n 階行列式 abbbbabbbbabbbbaD??????????解 ? ?? ?? ?? ? abbbnababnabbabnabbbbna?????????1111?????????D將第 都加到第一列得 n,3,2 ?? ?abbbabbbabbbbna?????????1111)1( ???? ?babababbbbna????????1)1(00? ? .)()1( 1????? nbabna例 4 nnnnnknkkkkkbbbbccccaaaaD????????????1111111111110?設,)d e t (11111kkkkijaaaaaD?????? ,)d e t (11112n