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高三一輪復習-排列組合(編輯修改稿)

2025-09-01 18:19 本頁面

　

【文章內容簡介】方法一甲為特殊元素．先排甲，有 5 種方法；其余 6 人有 A66種方法，故共有 5 A66＝ 3 6 0 0 ( 種 ) ．方法二排頭與排尾為特殊位置．排頭與排尾從非甲的 6 個人中選2 個排列，有 A26種方法，中間 5 個位置由余下 4 人和甲進行全排列有 A55種方法，共有 A26 A55＝ 3 6 0 0 ( 種 ) ． ( 4 ) ( 捆綁法 ) 將女生看成一個整體，與 3 名男生在一起進行全排列，有 A44種方法，再將 4 名女生進行全排列，也有 A44種方法，故共有 A44 A44＝ 5 7 6 ( 種 ) ． ( 5 ) ( 插空法 ) 男生不相鄰，而女生不作要求，所以應先排女生，有A44種方法，再在女生之間及首尾空出的 5 個空位中任選 3 個空位排男生，有 A35種方法，故共有 A44 A35＝ 1 4 4 0 ( 種 ) ．題型二組合問題例 2 男運動員 6 名，女運動員 4 名，其中男女隊長各 1 人．選派 5 人外出比賽．在下列情形中各有多少種選派方法？ ( 1 ) 男運動員 3 名，女運動員 2 名； ( 2 ) 至少有 1 名女運動員； ( 3 ) 隊長中至少有 1 人參加； ( 4 ) 既要有隊長，又要有女運動員． (1) 分步． ( 2) 可分類也可用間接法． (3 ) 可分類也可用間接法． (4) 分類．思維啟迪：解 ( 1 ) 第一步：選 3 名男運動員，有 C36種選法．第二步：選 2 名女運動員，有 C24種選法．共有 C36C24＝ 1 2 0 ( 種 ) 選法． ( 2 ) 方法一至少有 1 名女運動員包括以下幾種情況： 1 女 4 男， 2 女 3 男， 3 女 2 男， 4 女 1 男．由分類加法計數原理可得總選法數為 C14C46＋ C24C36＋ C34C26＋ C44C16＝ 2 4 6 ( 種 ) 方法二 “ 至少有 1 名女運動員 ” 的反面為 “ 全是男運動員 ” 可用間接法求解．從 10 人中任選 5 人有 C510種選法，其中全是男運動員的選法有 C56種．所以 “ 至少有 1 名女運動員 ” 的選法為 C510－ C56＝ 246( 種 ) . (3) 方法一可分類求解： “ 只有男隊長 ” 的選法為 C48； “ 只有女隊長 ” 的選法為 C48； “ 男、女隊長都入選 ” 的選法為 C38；所以共有 2C48＋ C38＝ 196( 種 ) 選法．方法二間接法：從 10 人中任選 5 人有 C510種選法．其中不選隊長的方法有 C58種．所以 “ 至少有 1 名隊長 ”的選法為 C510－ C58＝ 196( 種 ) ． ( 4 ) 當有女隊長時，其他人任意選，共有 C49 種選法．不選女隊長時，必選男隊長，共有 C48 種選法．其中不含女運動員的選法有 C45 種，所以不選女隊長時的選法共有 C48 － C45 種選法．所以既有隊長又有女運動員的選法共有 C49 ＋ C48 － C45 ＝ 1 9 1 ( 種 ) ．探究提高解組合題時，常遇到 “ 至多 ” 、 “ 至少 ” 問題，可用直接法分類求解，也可用間接法求解以減少運算量．當限制條件較多時，要恰當分類，逐一滿足．變式訓練 2 某高三學生希望報名參加某 6 所高校中的 3 所學校的自主招生考試，由于其中兩所學校的考試時間相同，因此該學生不能同時報考這兩所學校．該學生不同的報考方法種數是 _ _ _ _ _ _ _ _ ． ( 用數字作答 ) 解析從 6 所高校中任選 3 所有 C36 ＝ 20( 種 )

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