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高中數(shù)學(xué)圓錐曲線壓軸題大全(編輯修改稿)

2025-09-01 18:42 本頁(yè)面

　

【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 AB的方程為解法2：設(shè)則有依題意，∵N（1，3）是AB的中點(diǎn)， ∴又由N（1，3）在橢圓內(nèi)，∴∴的取值范圍是（12，+∞）.直線AB的方程為y－3=－（x－1），即x+y－4=0. （Ⅱ）解法1：∵CD垂直平分AB，∴直線CD的方程為y－3=x－1，即x－y+2=0，代入橢圓方程，整理得又設(shè)CD的中點(diǎn)為是方程③的兩根，∴于是由弦長(zhǎng)公式可得 ④將直線AB的方程x+y－4=0，代入橢圓方程得 ⑤同理可得 ⑥∵當(dāng)時(shí)，假設(shè)存在12，使得A、B、C、D四點(diǎn)共圓，則CD必為圓的直徑，點(diǎn)M為圓心.點(diǎn)M到直線AB的距離為 ⑦于是，由④、⑥、⑦式和勾股定理可得故當(dāng)12時(shí)，A、B、C、D四點(diǎn)勻在以M為圓心，為半徑的圓上. （注：上述解法中最后一步可按如下解法獲得：）A、B、C、D共圓△ACD為直角三角形，A為直角|AN|2=|CN||DN|，即 ⑧由⑥式知，⑧式左邊由④和⑦知，⑧式右邊∴⑧式成立，即A、B、C、D四點(diǎn)共圓.解法2：由（Ⅱ）解法1及λ12,∵CD垂直平分AB， ∴直線CD方程為，代入橢圓方程，整理得 ③將直線AB的方程x+y－4=0，代入橢圓方程，整理得 ⑤解③和⑤式可得不妨設(shè)∴計(jì)算可得，∴A在以CD為直徑的圓上.又B為A關(guān)于CD的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，∴A、B、C、D四點(diǎn)共圓.（注：也可用勾股定理證明AC⊥AD）、極限及不等式的綜合應(yīng)用以及歸納遞推的思想. （Ⅰ）證法1：∵當(dāng)即于是有所有不等式兩邊相加可得由已知不等式知，當(dāng)n≥3時(shí)有，∵證法2：設(shè)，首先利用數(shù)學(xué)歸納法證不等式（i）當(dāng)n=3時(shí)，由知不等式成立.（ii）假設(shè)當(dāng)n=k（k≥3）時(shí)，不等式成立，即則即當(dāng)n=k+1時(shí)，不等式也成立.由（i）、（ii）知，又由已知不等式得（Ⅱ）有極限，且（Ⅲ）∵則有故取N=1024，可使當(dāng)nN時(shí)，都有：(Ⅰ)設(shè)橢圓方程為，半焦距為，則(Ⅱ)、二次函數(shù)的基本性質(zhì)與不等式的應(yīng)用等基礎(chǔ)知識(shí)，.解：(Ⅰ)設(shè)函數(shù)的圖象上任意一點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為，則∵點(diǎn)在函數(shù)的圖象上∴(Ⅱ)由當(dāng)時(shí)，此時(shí)不等式無(wú)解.當(dāng)時(shí)，解得.因此，原不等式的解集為.（Ⅲ）①②ⅰ）ⅱ）數(shù)學(xué)壓軸題圓錐曲線類(lèi)三1.（Ⅰ）證法一：設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為由P在橢圓上，得由，所以 ………………………3分證法二：設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為記則由證法三：設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為橢圓的左準(zhǔn)線方程為由橢圓第二定義得，即由，所以…………………………3分（Ⅱ）解法一：設(shè)點(diǎn)T的坐標(biāo)為當(dāng)時(shí)，點(diǎn)（，0）和點(diǎn)（－，0）在軌跡上.當(dāng)|時(shí)，由，得.又，所以T為線段F2Q的中點(diǎn).在△QF1F2中，所以有綜上所述，點(diǎn)T的軌跡C的方程是…………………………7分解法二：設(shè)點(diǎn)T的坐標(biāo)為當(dāng)時(shí)，點(diǎn)（，0）和點(diǎn)（－，0）在軌跡上. 當(dāng)|時(shí)，由，得. 又，所以T為線段F2Q的中點(diǎn). 設(shè)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（），則因此 ① 由得 ② 將①代入②，可得綜上所述，點(diǎn)T的軌跡C的方程是……………………7分③④ （Ⅲ）解法一：C上存在點(diǎn)M（）使S=的充要條件是由③得，由④得所以，當(dāng)時(shí)，存在點(diǎn)M，使S=；當(dāng)時(shí)，不存在滿足條件的點(diǎn)M.………………………11分當(dāng)時(shí)，由，，，得解法二：C上存在點(diǎn)M（）使S=的充要條件是③④ 由④得上式代入③得于是，當(dāng)時(shí)，存在點(diǎn)M，使S=；當(dāng)時(shí)，不存在滿足條件的點(diǎn)M.………………………11分當(dāng)時(shí)，記，由知，所以…………14分，函數(shù)極值、（Ⅰ）解：…………………………………………2分（Ⅱ）證明：令因?yàn)檫f減，所以遞增，因此，當(dāng)；，且是極小值點(diǎn)，可知的最小值為0，因此即…………………………6分（Ⅲ）解法一：，是不等式成立的必要條件，以下討論設(shè)此條件成立. 對(duì)任意成立的充要條件是另一方面，由于滿足前述題設(shè)中關(guān)于函數(shù)的條件，利用（II）的結(jié)果可知，的充要條件是：過(guò)點(diǎn)（0，）與曲線相切的直線的斜率大于，該切線的方程為于是的充要條件是…………………………10分綜上，不等式對(duì)任意成立的充要條件是

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