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slyaaa高二數(shù)學幾何學的發(fā)展(編輯修改稿)

2025-09-01 19:02 本頁面

　

【文章內(nèi)容簡介】離開了求證第五公設(shè)的目標，朝向創(chuàng)造非歐幾何的目標靠攏但是，他們沒有認識到歐幾里得幾何并不是在經(jīng)驗可證實的范圍內(nèi)描述物質(zhì)空間性質(zhì)的唯一幾何奇異的羅巴切夫斯基幾何學羅巴切夫斯基非歐幾何的平行公理：設(shè) a是任一直線， A是 a外任一定點。在 a與 A所決定的平面上，過點 A而與 a不相交的直線，至少有兩條羅巴切夫斯基非歐幾何命題三角形內(nèi)角和都是小于 π 的，而且其和量因三角形而異，并非一個常量。同一直線的垂線及斜線，并不總是相交的。不存在相似而不全等的兩個三角形。如果兩個三角形的各內(nèi)角對應(yīng)相等，則它們必定是全等的。存在著沒有外接圓的三角形。三角形三邊的中垂線并非必定交于一點。在平面上一條已知直線 a的同一側(cè)，與已知線 a有給定距離的點的軌跡是一曲線，它上面的任意三點都不在一條直線上。在任一角內(nèi)，至少存在這樣一點，通過它不能做出一條同時與兩邊相交的直線。圓內(nèi)接正六邊形的邊大于此圓半徑幾何學的統(tǒng)一性與現(xiàn)實性德國數(shù)學家年提出另一種非歐幾何學 ——黎曼幾何（黎曼。 1854年）直接起源于微分幾何的研究黎曼幾何的平行公理，是假設(shè)過直線外一點不存在與已知直線平行的直線。在黎曼幾何中，三角形的內(nèi)角和大于兩直角，圓周率小于 π “ 現(xiàn)實性 ” 直到 19世紀初，所有的數(shù)學家都認為歐氏幾何是物質(zhì)空間和此空間內(nèi)圖形性質(zhì)的正確描述。并且 “ 空間 ”也專指當時人們所唯一了解的歐幾里得空間羅巴切夫幾何自誕生之日起，其命題的合理性就不斷引起人們的懷疑。非歐幾何早期的發(fā)現(xiàn)者們?yōu)榱蓑炞C它的合理性，曾作過一些實際的測定。歷史的事實卻殘酷的告訴我們，羅氏幾何遲至今日也沒能在物理空間找到應(yīng)用，只有在邏輯的范疇內(nèi)，利用公理化的思想與方法找到它存在的“ 合理性 ” 黎曼幾何在相對論中的現(xiàn)實應(yīng)用。愛因斯坦說： “ 我特別強調(diào)剛才所講的這種幾何學的觀點，因為要是沒有它，我就不能建立相對論。 ” 愛爾蘭根綱領(lǐng) 19世紀初，運用歐幾里得綜合方法，創(chuàng)造出與解析幾何相媲美的射影幾何學愛爾蘭根綱領(lǐng)（克萊因， 1872年）：所謂幾何學，就是研究幾何圖形對于某類變換群保持不變的性質(zhì)的學問，或者說任何一種幾何只是研究與特定的變換群有關(guān)的不變量。克萊因以射影幾何為基礎(chǔ)、對幾何學做了如下的分類：射影幾何仿射幾何單重橢圓幾何雙重橢圓幾何雙曲幾何（黎曼幾何）（羅巴切夫斯基幾何）拋物幾何其他仿射幾何（歐幾里得幾何）利用不變性研究圖形的性質(zhì)，為初等幾何的研究提供了新的方法。例如，由于在仿射交換下橢圓可以變成圓，相應(yīng)地橢圓中心變?yōu)閳A心，橢圓的切線變?yōu)閳A的切線。我們不妨將原命題應(yīng)用仿射變換轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的圓的命題：設(shè)△ ABC為圓內(nèi)接三角形，以其頂點作切線構(gòu)成了切線三角形A1B1C1。如果 A1B1∥ AB. B1C1∥ BC。那么A1C1∥ AC。一旦我們證明了這個有關(guān)圓的命題，再利用仿射變換下 “ 平行 ” 為不變性，便可知原命題成立。幾何基礎(chǔ)與公理化方法公理化方法非歐幾何、非交換代數(shù)（如四元數(shù)）的出現(xiàn)，使數(shù)學家注意到古希臘把公理當作自明的真理的局限性。分析的算術(shù)化研究不斷深入，逐漸形成了科學的公理化方法。公理集合的性質(zhì) 相容性，即由公理導出的定理，沒有哪兩個是相互矛盾的；完備性，即理論系統(tǒng)中的定理都可以從公理導出獨立性，即由公理導出的定理中中沒有一個是另一個的邏輯結(jié)果。在任何一個公理系中，不加定義的概念例如幾何學中的 “ 點 ” 和 “ 線 ” ，它們在物理領(lǐng)域中的 “ 意義 ” 或關(guān)系，在數(shù)學上是非本質(zhì)的。它們被當作純粹抽象的東西，它們在演繹系統(tǒng)中的性質(zhì)，完全用公理的形式加以界定歐氏幾何公理體系的嚴密化希爾伯特幾

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