高中數學-圓錐曲線練習題及答案-歷年高考試題精選(編輯修改稿)

　

【文章內容簡介】 。以及直線的方程。直線 12的方程為： xyab???；直線 BF的方程為： 1c。二者聯立解得： 2(),acbT??， 則 (),2acbM在橢圓2(0)xyb?上，2221,03,13()4()cae???????， （第 11 題解答圖）解得： 275e??11.（ 2022 全國卷Ⅱ文）已知圓 O： 52??yx和點 A（1，2 ） ，則過 A 且與圓 O 相切的直線與兩坐標軸圍成的三角形的面積等于 。解析：由題意可直接求出切線方程為 y2=?(x1)，即 x+2y5=0,從而求出在兩坐標軸上的截距分別是 5 和 2，所以所求面積為 4251??。12.（ 2022 廣 東 卷 理 ） 巳知橢圓 G的中心在坐標原點，長軸在 x軸上，離心率為 32，且 G上一點到 的兩個焦點的距離之和為 12，則橢圓 的方程為 ．【解析】 23?e， 1a， 6?， 3b，則所求橢圓方程為 19362??y.13.(2022 年廣東卷文)以點（2 ， ?）為圓心且與直線 xy?相切的圓的方程是 .【答案】 25((1)xy??【解析】將直線 6?化為 60xy?,圓的半徑 |216|5r??,所以圓的方程為225()(1)xy?? 14.（ 2022 天津卷文）若圓 42??yx與圓 )0(622????ayx的公共弦長為 32，則 a=________. 【解析】由已知，兩個圓的方程作差可以得到相交弦的直線方程為 y1 ，利用圓心（0，0）到直線的距離 d1|a?為 1322??，解得 a=1【考點定位】本試題考查了直線與圓的位置關系以及點到直線的距離公式的運用。考察了同學們的運算能力和推理能力。15.（ 2022 四川卷文）拋物線 24yx?的焦點到準線的距離是 .【解析】焦點 F（1，0） ，準線方程 1?，∴焦點到準線的距離是 216.（ 2022 湖南卷文）過雙曲線 C：2ab(0,)b?的一個焦點作圓 22xya??的兩條切線， 切點分別為 A，B ，若 10O???（O 是坐標原點） ，則雙曲線線 C 的離心率為 2 . 解: 120632FAca????????, .ce?17.（ 2022 福建卷理）過拋物線 2()ypx?的焦點 F 作傾斜角為 45?的直線交拋物線于 A、B 兩點，若線段AB 的長為 8，則 p________________ 解析：由題意可知過焦點的直線方程為 2pyx??，聯立有2 22304ypxpx?????????，又222(1)348pAB?????。18.（ 2022 遼寧卷理）以知 F 是雙曲線21xy??的左焦點， (1,4)AP是雙曲線右支上的動點，則 PFA?的最小值為 。【解析】注意到 P 點在雙曲線的兩只之間 ,且雙曲線右焦點為 F’(4,0), 于是由雙曲線性質|PF|－|PF’|＝2a ＝4 而|PA|＋|PF’|≥|AF’|＝5 兩式相加得|PF|＋|PA|≥9,當且僅當 A、P、F’三點共線時等號成立.【答案】919.（ 2022 四川卷文）拋物線 24yx?的焦點到準線的距離是 .【解析】焦點 F（1，0） ，準線方程 1?，∴焦點到準線的距離是 220.（ 2022 寧夏海南卷文）已知拋物線 C 的頂點坐標為原點，焦點在 x 軸上，直線 y=x 與拋物線 C 交于 A，B 兩點，若 ??2,P為 AB的中點，則拋物線 C 的方程為 。【解析】設拋物線為 y2＝kx，與 y＝x 聯立方程組，消去 y，得：x 2－kx ＝0 ， 21x?＝k ＝2 2，故 4yx?.21.(2022 湖南卷理)已知以雙曲線 C 的兩個焦點及虛軸的兩個端點為原點的四邊形中，有一個內角為 60 o，則雙曲線 C 的離心率為 .【解析】連虛軸一個端點、一個焦點及原點的三角形，由條件知，這個三角形的兩邊直角分別是 ,(bc是虛半軸長，c是焦半距 )，且一個內角是 30?，即得 tan30bc??，所以 3cb?，所以 2ab?，離心率 362ea?22.（ 2022 年上海卷理）已知 1F、 2是橢圓 1:2?yxC（ ＞ ＞0）的兩個焦點， P為橢圓 C上一點，且21PF?.若 21?的面積為 9，則 b=____________. 【解析】依題意，有 ???????22124||| 8||| cPFa，可得 4c2＋36 ＝4a 2，即 a2－c 2＝9，故有 b＝3。23.（ 2022 上海卷文）已知 、 是橢圓 2:1(0)xyCab??的兩個焦點， p為橢圓 C上的一點，且12PF?。若 12?的面積為 9，則 b? . 【解析】依題意，有 ??????22124||| 8||| cPFa，可得 4c2＋36 ＝4a 2，即 a2－c 2＝9，故有 b＝3。三、解答題1.(2022 年廣東卷文)（本小題滿分 14 分）已知橢圓 G 的中心在坐標原點, 長軸在 x軸上,離心率為 23,兩個焦點分別為 1F和 2,橢圓 G 上一點到 1F和 2的距離之和為 kC: 02142???ykyx)(Rk?的圓心為點 kA.(1)求橢圓 G 的方程(2)求 21FAk?的面積(3)問是否存在圓 k包圍橢圓 G?請說明理由.【解析】 （1）設橢圓 G 的方程為：21xyab?? （ 0ab?）半焦距為 c。 則23ac????? , 解得63c???? , 223679c??? 所求橢圓 G 的方程為：2169xy??. (2 )點 KA的坐標為 ??,? 121232FS???V（3 ）若 0k?，由 60150kk????f可知點（ 6，0）在圓 kC外， 若 ?，由 2()?可知點（6，0）在圓 外； ?不論 K 為何值圓 kC都不能包圍橢圓 G.2.（2022 全國卷Ⅰ理） （本小題滿分 12 分） 如圖，已知拋物線 2:Eyx?與圓 22:(4)(0)Myr????相交于 A、 B、 C、 D四個點。 （I）求 r得取值范圍； （II）當四邊形 ABCD的面積最大時，求對角線 AC、 BD的交點 P坐標分析：（I）這一問學生易下手。將拋物線 2:Eyx與圓 22:(4)(0)yr????的方程聯立，消去 2y，整理得 227160xr???． ． ． ． ． ． ． ． ． ． ． ． ． （＊）拋物線 :Ey與圓 22:(4)(0)Mxyr????相交于 A、 B、 C、 四個點的充要條件是：方程（＊） 15,4?.考生利用數形結合及函數和方程的思想來處理也可以．（II）考綱中明確提出不考查求兩個圓錐曲線的交點的坐標。因此利用設而不求、整體代入的 方法處理本小題是一個較好的切入點． 設四個交點的坐標分別為 1(,)Ax、 1(,)Bx?、 2(,)Cx?、 2(,)Dx。則由（I）根據韋達定理有 212127,6xxr???， 15(,4)?則 21212||()||()Sx x????2 2112[()4])76(415)xxr?? ? 令 6rt，則 22(7)Stt??? 下面求 2S的最大值。方法一：利用三次均值求解。三次均值目前在兩綱中雖不要求，但在處理一些最值問題有時很方便。它的主要手段是配湊系數或常數，但要注意取等號的條件，這和二次均值類似。 221(7)(2)7(14)Stttt 33148????? 當且僅當 72tt?，即 76時取最大值。經檢驗此時 15(,4)2r?滿足題意。方法二：利用求導處理，這是命題人的意圖。具體解法略。下面來處理點 P的坐標。設點 的坐標為： (,0)pPx由 AC、 、 三點共線，則 121px???得 1276xt?。以下略。3.（2022 浙江理） （本題滿分 15 分）已知橢圓 1C：2(0)yab??的右頂點為 (1,0)A，過 1C的焦點且垂直長軸的弦長為 1． （I）求橢圓 C的方程； （II）設點 P在拋物線 2： 2()yxh???R上， 2在點 P處的切線與 1交于點 ,MN．當線段 AP的中點與 MN的中點的橫坐標相等時，求 的最小值．解析：（I）由題意得 2,1ba???????所求的橢圓方程為214yx??， （II）不妨設 212(,)(,)(,),xyNPth?則拋物線 2C在點 P 處的切線斜率為 2xty??，直線 MN 的方程為2yth???，將上式代入橢圓 1C的方程中，得 2()0xth?，即??4140tt?，因為直線 MN 與橢圓 1有兩個不同的交點，所以有426()??????，設線段 MN 的中點的橫坐標是 3x，則21()xt??， 設線段 PA 的中點的橫坐標是 4，則 t，由題意得 34x?，即有 2(1)0tht??，其中的22(1)40,1h??????或 h??；當 3?時有 2?，因此不等式 216()4tht????????不成立；因此 1h?，當時代入方程 2()0tt??得 t，將 ,h代入不等式4216()40tht???????????成立，因此 h的最小值為 1．4.（2022 浙江文） （本題滿分 15 分）已知拋物線 C： 2(0)xpy??上一點 (,4)Am到其焦點的距離為 174． （I）求 p與 m的值； （II）設拋物線 C上一點 P的橫坐標為 (0)t，過 P的直線交 C于另一點 Q，交 x軸于點 M，過點 Q作PQ的垂線交 于另一點 N．若 M是 的切線，求 t的最小值．解析（Ⅰ）由拋物線方程得其準線方程： 2py??，根據拋物線定義點 )4,(A到焦點的距離等于它到準線的距離，即 417??，解得 21p?拋物線方程為： yx?2，將 )4,(mA代入拋物線方程，解得 ?m（Ⅱ）由題意知，過點 ,2tP的直線 Q斜率存在且不為 0，設其為 k。則 )(:2ktylPQ?，當 ,02ktx?? 則 ),(2tM?。聯立方程 ????yxt2，整理得： )2??t即： )]()[(tkt，解得 ,tx或,2??，而 QPN?， ?直線 N斜率為 k1? )]([1)(:2tkxtkylNQ??，聯立方程 ??????yxtkty2)]([)(整理得： 022 ??ttx，即： 0]1)([2???ttk )](][1)([??ktk，解得： tx1)(，或),(2ttN??， )1(1)(][ 22????????ktktktKNM而拋物線在點 N 處切線斜率： ykktx )(1)(????切?MN 是拋物線的切線， tt 2)(2， 整理得 0212???ttk0)21(42????tt，解得 3?（舍去） ，或 3?t， min??t5.（2022 北京文） （本小題共 14 分） 已知雙曲線2:(,)xyCab??的離心率為 ，右準線方程為 3x。（Ⅰ）求雙曲線 C 的方程；（Ⅱ）已知直線 0xym??與雙曲線 C 交于不同的兩點 A，B，且線段 AB 的中點在圓 25xy??上，求 m的值. 【解析】本題主要考查雙曲線的標準方程、圓的切線方程等基礎知識，考查曲線和方程的關系等解析幾何的基本思想方法，考查推理、運算能力．（Ⅰ）由題意，得23ac?????，解得 1,3ac?， ∴ 22bc??，∴所求雙曲線 C的方程為21yx??.（Ⅱ）設 A、B 兩點的坐標分別為 ??12,xy，線段 AB 的中點為 ??0,M， 由210yxm???????得 220m??（判別式 ??）, ∴ 1200,yx?,∵點 ??0Mx在圓 25?上，∴ 225m?，∴ 1m?.6.（2022 北京理） （本小題共 14 分）已知雙曲線2:(0,)xyCab???的離心率為 3，右準線方程為 3x?（Ⅰ）求雙曲線 的方程；（Ⅱ）設直線 l是圓 2:Oxy?上動點 00(,))Pxy?處的切線， l與雙曲線 C交于不同的兩點 ,AB，證明 ?的大小為定值.【解法 1】本題主要考查雙曲線的標準方程、圓的切線方程等基礎知識，考查曲線和方程的關系等解析幾何的基本思想方法，考查推理、運算能力．（Ⅰ）由題意，得23ac?????，解得 1,3ac?， ∴ 22bc??，∴所求雙曲線 C的方程為21yx??.（Ⅱ）點 ??00,Pxy?在圓 2xy??上，圓在點 0,處的切線方程為 ??0x?，化簡得 02xy??.由201xy?????及 20xy得 ??22022348xx????，∵切線 l與雙曲線 C 交于不同的兩點 A、B ，且 20x?，∴ 2034x??，且 ??220226438x?????，設 A、B 兩點的坐標分別為 12,y，則 0012128,3434xxx?????，∵ cosOBA????，且 ??12120222xyx