數(shù)值積分與微分(編輯修改稿)

　

【文章內(nèi)容簡介】 ? ?????101 d1kttk?? ??4 ( 4 ) 6[ ] ( ) 0 .2 7 1 1 02880SSbaR f h f ? ??? ? ? ?例 3（ P108） 07:49:44 Numerical Analysis 33 舉例 例 4(P104)： 計算定積分 用復合梯形公式和復合 simpson公式時， n 分別取多大時才能使得誤差不超過 ? 105 10 dxex?解： () xf x e?()0 1 0 1m ax ( ) m axkxxxf x e e? ? ? ???要使誤差不超過 ? 105 ，需要 2511 101 2 2en??? ?????? ? 取 n=213 213 等分 22 1[ ] ( )1 2 1 2TTb a eR f h fn?? ??? ? ?????39。39。復合梯形公式 07:49:44 Numerical Analysis 34 舉例 復合 simpson公式 44 ( 4 ) 1[ ] ( )2 8 8 0 2 8 8 0SSb a eR f h fn?? ??? ? ?????要使誤差不超過 ? 105 ，需要 3 .7 1n ? 故取 n=4 4511 102 8 8 0 2en??? ?????? 8 等分 07:49:44 Numerical Analysis 35 Romberg 算法 太 大 利用復合梯形公式、復合 simpson公式、復合 Cotes公式等計算定積分時， 如何選取步長 h ？ 計算精度難以保證 太 小 增加額外的計算量 解決辦法：采用 變步長算法 通常采取將區(qū)間 不斷對分 的方法，即取 n = 2k ，反復使用復合求積公式 ，直到所得到的計算結(jié)果滿足指定的精度為止。 07:49:44 Numerical Analysis 36 梯形法遞推公式 ? ? ?????? ????? ?? ????? )()(2)(2)()(211101 bfxfafhxfxfhT niiniiin? 步長折半： [xi , xi+1/2] ， [xi +1/2 , xi+1] ? ? ? ?12 1 2 1 2 10( ) ( ) ( ) ( )4nn i i i iihT f x f x f x f x?? ? ????? ? ? ????11 2 10( ) 2 ( ) ( )4ni i iih f x f x f x??????? ? ????? ?11 1 1 200( ) ( ) ( )42nni i iiihhf x f x f x??????? ? ???? 將 [a, b] 分成 n 等分 [xi , xi+1] ， n abhhiax i ????? ,xi xi +1 xi +1/2 11201 ()22nniihT f x????? ?07:49:44 Numerical Analysis 37 梯形法遞推公式 112 1 20011 ( ) ( 0 . 5 )2 2 2 2nnn n i niihhT T f x T f a i h h?????? ? ? ? ? ???bahn??? ?1 ( ) ( )2baT f a f b???002 1 0 001 ( 0 .5 )22 ihT T f a i h h?? ? ? ??114 2 1 101 ( 0 .5 )22 ihT T f a i h h?? ? ? ??328 4 2 201 ( 0 .5 )22 ihT T f a i h h?? ? ? ??0h b a??1 2bah ??2 4bah ??07:49:44 Numerical Analysis 38 梯形法遞推公式 11211112201 ( 0 . 5 )22kkkkkkihT T f a i h h???????? ? ? ??112k kbah? ???121( ) ( 1 ) 11101 ( 0 . 5 )22kkk kkkihT T f a i h h? ?? ????? ? ? ??記 ()2 kkTT1 12k kbah? ???07:49:44 Numerical Analysis 39 梯形遞推算法流程圖 ?算法實現(xiàn) ??? ???10 212 )(22nk knn xfhTT輸出 T2 h ← ba T1 ← h/2*(f(a)+f(b)) xb Y T2← T1/2+h/2*s h ← h/2 T1 ← T2 s ← s+f(x) x ← x+h s ← 0 x ←a +h/2 N N Y |T2T1| ?輸入 a, b, ?← ← h/2 T ← T1 T1 ← T2 |T2T ?dxx x?10s i n求07:49:44 Numerical Analysis 40 舉例 解： 例 5(P110)： 用梯形法的遞推公式計算定積分 , 要求計算精度滿足 10s i n ( ) dx xx?? ?( 0 ) ( ) ( ) 0 .9 2 0 7 3 5 4 9 22baT f a f b?? ? ?0( 1 ) ( 0 )00001 ( 0 . 5 ) 0 . 9 3 9 7 9 3 2 8 522 ihT T f a i h h?? ? ? ? ??1( 2 ) ( 1 )11101 ( 0 . 5 ) 0 . 9 4 4 5 1 3 5 2 222 ihT T f a i h h?? ? ? ? ??1( 3 ) ( 2 )22201 ( 0 . 5 ) 0 . 9 4 5 6 9 0 8 6 422 ihT T f a i h h?? ? ? ? ?? 72 10|| ???? ?nn TTk T (k) 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 [ ] = 07:49:44 Numerical Analysis 41 梯形法的加速 ? 梯形法遞推公式算法簡單，編程方便 ? 梯形法的加速－－ 龍貝格 (Romberg) 算法 但收斂速度較 慢 定理 ：設 f(x)?C ?[a, b], 記 Tn = T (h), 則有 2 4 212( ) [ ] iiT h I f h h h? ? ?? ? ? ? ? ?bahn??07:49:44 Numerical Analysis 42 梯形法的加速 2 4 212() [] iiIhTh f h h? ? ?? ? ? ? ? ?2 4 212[]2 2 2 2iih h h hT I f ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?46234 ( / 2 ) ( ) 3 [ ] ( 3 / 4 ) ( 15 / 16 )T h T h I f h h??? ? ? ? ? ? ?4612()1 4 ( ) [ ]32ShhT T h I f h h?????? ? ? ? ? ?????????2[ ] ( )I f O h??4[ ] ( )I f O h??68121 1 6 ( )() []1 5 2hS S h I fCh hh???? ?? ? ? ? ? ????? ????6[ ] ( )I f O h??81 64( ) [ ] ( )()5 3 2hCCR h I f O hh???? ?????? ?????Richardson 外推算法 07:49:44 Numerical Analysis 43 龍貝格算法流程圖 輸出 R2 h ←b a T1 ← h/2*(f(a)+f(b)) k ← 1 k=1 Y S2 ←(4T 2T1)/3 調(diào)用梯形遞推算法得 T2 N N |R2R1| ?輸入 a, b, ?C2← (16S2S1)/15 k← k+1 h ← h/2 T1 ← T2 S1 ← S2 R2← (64C2C1)/63 k=2 k=3 C1← C2 R1← R2 Y Y N N Y 07:49:44 Numerical Analysis 44 舉例 例： 計算定積分 10s i n ( ) dx xx?10 .9 2 0 7 3 5 4 9 2T ? 20 .9 3 9 7 9 3 2 8 5T ? 40 .9 4 4 5 1 3 5 2 2T ?k T0(k) 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 ? ?11 21 43 145 882TS T??? ?22 41 43 086 934TS T??[ ] = ? ?211 1 1 6 0 .9 4 6 0 8 3 0 0 415C SS ??07:49:44 Numerical Analysis 45 Romberg 算法 ① T1 =T0 (0) ② T2 =T0 (1) ③ S1 =T1 (0) ④ T4 =T0 (2) ⑤ S2 =T1 (1) ⑥ C1 =T2 (0) ⑦ T8 =T0 (3) ⑧ S4 =T1 (2) ⑨ C2 =T2 (1) ⑩ R1 =T3 (0) kkkk RTCTSTTTkkkk2)(32)(22)(12)(0 , , , ????記 : ????????()0kT()kmT: k 次等分后梯形公式計算所得的近似值 : m 次加速后所得的近似值 Romberg 算法是收斂的 ( 1 ) ( )() 11441m k kk mmm mTTT ??????07:49:44 Numerical Analysis 46 舉例 例： 用 Romberg 算法計算定積分 , 要求計算精度滿足 1 30 dxx?[