基于分形理論的matlab仿真技術研究(編輯修改稿)

　

【文章內容簡介】 使的零點排除在此鄰域之外。除此之外圖像處理的濾波方法還有許多例如最小二乘濾波法,中值濾波法，維納濾波和自適應中值濾波在這我們就不一一列舉了，他們都是作為圖像復原的方法。 在本章我學到了圖像處理基本知識及應用，還介紹了數字圖像處理的幾何變換和圖像的復原在圖像的復原中主要介紹了幾種濾波方法和傅立葉變換的相關知識和數學算法的應用。3 分形理論分形(fractal)這個名詞是Mandelbrot在20世紀70年代為了表征復雜圖形和復雜過程首先引入自然科學領域的，它的原意是不規則的，支離破碎的物體。分形可以分為規則分形和不規則分形。在分形名詞使用之前，一些數學家就提出過不少復雜和不光滑的集合，如Cantor集,Koch曲線,Sierpinski墊片，地毯和海綿等。這些都屬于規則的分形圖形，它們具有嚴格的自相似性。而自然界的許多事物所具有的不光滑性和復雜性往往是隨機的，如蜿蜒曲折的海岸線；變換無窮的布朗運動軌跡等。這類曲線的自相似性是近似的或統計意義上的，這種自相似性只存在于標度不變區域，超出標度不便區域，自相似性不復存在。這類曲線為不規則分形[9]。迄今為止，分形還沒有一個嚴格的定義。1982年Mandelbrot將分形定義為Hausdorff維數大于拓撲維數的集合。1986年，Mandelbrot給出了一個更廣泛，更通俗的定義：分形是局部和整體有某種方式相似的形，該定義強調圖形中的局部和整體之間的自相似性1三分康托集1883年，德國數學家康托()提出了如今廣為人知的三分康托集。三分康托集是很容易構造的，然而，再由這個區間不斷地去掉部分子區間的過程圖2三分康托集的構造過程來構造出來的(如上圖)。其詳細構造過程是：第一步，把閉區間[0，1]平均分為三段，去掉中間的 1/3 部分段，則只剩下兩個閉區間[0，1/3]和[2/3，1]。第二步，再將剩下的兩個閉區間各自平均分為三段，同樣去掉中間的區間段，這時剩下四段閉區間：[0，1/9]，[2/9，1/3]，[2/3，7/9]和[8/9，1]。第三步，重復刪除每個小區間中間的 1/3 段。如此不斷的分割下去， 最后剩下的各個小區間段就構成了三分康托集。三分康托集的 。2 Koch 曲線1904年，瑞典數學家柯赫構造了 “Koch曲線”幾何圖形。Koch曲線大于一維，具有無限的長度，但是又小于二維，并且生成的圖形的面積為零。它和三分康托集一樣，是一個典型的分形。根據分形的次數不同，生成的Koch 曲線也有很多種，比如三次 Koch 曲線，四次 Koch 曲線等。下面以三次 Koch 曲線為例，介紹 Koch 曲線的構造方法，其它的可依此類推[10]。圖3 Koch 曲線的生成過程三次Koch曲線的構造過程主要分為三大步驟：第一步，給定一個初始圖形一條線段；第二步，將這條線段中間的 1/3 處向外折起；第三步，按照第二步的方法不斷的把各段線段中間的 1/3 處向外折起。這樣無限的進行下去，最終即可構造出Koch曲線。其圖例構造過程如右圖所示(迭代了 6 次的圖形)。3 julia集和mandelbrot集Julia集是由法國數學家Julia和Faton在發展了復變函數迭代理論的礎上獲得的。在復平面C上，利用復變函數迭代可生成一個非常復雜的集。令由可得 （31）迭代過程中，如固定參數c，而考慮z得變化，則稱Z平面為動態平面，按上式反復迭代得到得數集，稱為Julia集。在進行迭代時，每次以新得坐標替代舊坐標進行下一次迭代。為了觀察逃離速度，可以規定一個距離函數 （32）計算例如D20所需迭代次數，如果某點經過300次迭代仍未逃離，就可以認為它屬于J集，對于趨于內部得點也可以類似處理[11]。在計算機上畫映射的Julia集可用逃逸時間算法，算法如下：(1).選定參數,取，取R充分大。定義發散區域，當某軌道進入區域V時，就認為該軌道是發散的，設。對所有象素點完成下面過程。(2).設(3).作迭代：利用迭代方程 作迭代，由計算，k=k+1。(4).作判別：計算，(i) 若rR,取顏色k，轉到第4步；(ii) 若k＝K，取顏色0，轉到第4步；(iii) 若r≤R，且kK,回到第2步。(5).在象素點(i,j)上著第k種顏色，轉到下一個點并從第1步開始Mandelbrot集被認為是把自相似的外形與無限變化的性質結合起來的一個分形。J集是給定C后對復變量Z進行分類；而M集則是在復參數C填充的平面上對參數C進行分類得到的圖形。1三分康托集1883年，德國數學家康托()提出了如今廣為人知的三分康托集。三分康托集是很容易構造的，然而，再由這個區間不斷地去掉部分子區間的過程圖2三分康托集的構造過程來構造出來的(如上圖)。其詳細構造過程是：第一步，把閉區間[0，1]平均分為三段，去掉中間的 1/3 部分段，則只剩下兩個閉區間[0，1/3]和[2/3，1]。第二步，再將剩下的兩個閉區間各自平均分為三段，同樣去掉中間的區間段，這時剩下四段閉區間：[0，1/9]，[2/9，1/3]，[2/3，7/9]和[8/9，1]。第三步，重復刪除每個小區間中間的 1/3 段。如此不斷的分割下去， 最后剩下的各個小區間段就構成了三分康托集。三分康托集的 。2 Koch 曲線1904年，瑞典數學家柯赫構造了 “Koch曲線”幾何圖形。Koch曲線大于一維，具有無限的長度，但是又小于二維，并且生成的圖形的面積為零。它和三分康托集一樣，是一個典型的分形。根據分形的次數不同，生成的Koch 曲線也有很多種，比如三次 Koch 曲線，四次 Koch 曲線等。下面以三次 Koch 曲線為例，介紹 Koch 曲線的構造方法，其它的可依此類推[10]。圖3 Koch 曲線的生成過程三次Koch曲線的構造過程主要分為三大步驟：第一步，給定一個初始圖形一條線段；第二步，將這條線段中間的 1/3 處向外折起；第三步，按照第二步的方法不斷的把各段線段中間的 1/3 處向外折起。這樣無限的進行下去，最終即可構造出Koch曲線。其圖例構造過程如右圖所示(迭代了 6 次的圖形)。3 julia集和mandelbrot集Julia集是由法國數學家Julia和Faton在發展了復變函數迭代理論的礎上獲得的。在復平面C上，利用復變函數迭代可生成一個非常復雜的集。令由可得 （31）迭代過程中，如固定參數c，而考慮z得變化，則稱Z平面為動態平面，按上式反復迭代得到得數集，稱為Julia集。在進行迭代時，每次以新得坐標替代舊坐標進行下一次迭代。為了觀察逃離速度，可以規定一個距離函數 （32）計算例如D20所需迭代次數，如果某點經過300次迭代仍未逃離，就可以認為它屬于J集，對于趨于內部得點也可以類似處理[11]。在計算機上畫映射的Julia集可用逃逸時間算法，算法如下：(1).選定參數,取，取R充分大。定義發散區域，當某軌道進入區域V時，就認為該軌道是發散的，設。對所有象素點完成下面過程。(2).設(3).作迭代：利用迭代方程 作迭代，由計算，k=k+1。(4).作判別：計算，(i) 若rR,取顏色k，轉到第4步；(ii) 若k＝K，取顏色0，轉到第4步；(iii) 若r≤R，且kK,回到第2步。(5).在象素點(i,j)上著第k種顏色，轉到下一個點并從第1步開始Mandelbrot集被認為是把自相似的外形與無限變化的性質結合起來的一個分形。J集是給定C后對復變量Z進行分類；而M集則是在復參數C填充的平面上對參數C進行分類得到的圖形。科學家首先提出用分數布朗運動描述具有統計自相似性的一類隨機過程現象，將分數布朗運動用于描述空間分布的隨機場，得到分數布朗隨機場（FBRF）。有關概念簡述如下：定義一：設H 滿足0H1，b0 為任意實數，若隨機函數滿足 （33） 則稱BH(s,ω)為分數布朗運動（FBM），其中 H 為Hurst 指數，b0 為初始值，ω為樣本空間Ω，H=1/2 時為通常的布朗運動。定義二：設BH(t)為一高斯隨機場，對于0H1，若對任意t 和Δt，滿足： （34）則稱BH(t)為各向同性的FBRF，其中F(y)為零均值高斯隨機變量的分布函數，Pr()為概率測度，||||表示范數。分數布朗隨機場BH(t)具有如下性質： （35）由以上性質可知，FBRF 增量的一、二階絕對矩是各向同性的。Pentland證明了大多數自然景物表面所映射成的灰度圖像在一定尺度范圍內滿足各向同性的FBRF，并將FBRF 作為自然景物圖像的描述模型。從（32）和（33）式可以看出，Hurst 指數決定了一個分數布朗運動[12]，由Hurst 指數可得圖像表面的分形維數 D =Dt+1 H （36） 式中 DT 為圖像表面的拓撲維數。維數是幾何對象的一個重要特征量，它是幾何對象中一個點的位置所需的獨立坐標數目。在分形學里維數可以為分數，通過分形維數我們可以描述和測量分形的特性。在實際中，常用Richardson 定律來估計分形維數 （37）中ε=1,2,3 …為尺度因子，A(ε)是尺度ε下的度量特征值，D 是分形維數，d 是拓撲維數，K 為分形系數。對于理想的均勻的二維灰度圖像，A(ε)為圖像表面積測度，拓撲維數為2，則有 （38）對于分形維數，人們傾注了許多注意力，并指出分形維數是圖像表面不規則程度的一種度量，它反映了圖像灰度曲面的粗糙程度。 本文將分析另一個分形參數，得到一種新的邊緣提取特征。考慮(38)式中的系數K。對于一個理想的平坦的分形曲面，其分形維數D 為2，此時系數K 為灰度曲面的表面積。給定一個理想分形曲面，K 為一常數，若圖像是由不同的紋理曲面組成，或是分形曲面中嵌入了非分形對象，例如自然場景中存在人造目標，K 將不再是一個常數，而是尺度ε的函數，它反映了尺度變化的情況下曲面面積的變化，取不同的尺度，由（38）式可得 （39）式中 ε1,ε2 為不同尺度，可見K 值反映了圖像表面積隨尺度變化的空間變化率。對式兩端取對數，有式(38)表示在logA(ε)―logε坐標系下的一條直 log A(e ) = (2 D) log e + log K （310）線，logK 恰為該直線在縱坐標軸logA(ε)上的截距，K的大小相當于該尺度下的灰度曲面面積。由此可以看出，系數K 實際上是一個類似于面積的分形參數，稱之為面積度量。對于光滑的曲面，面積度量較小，起伏的曲面面積度量較大。所以，面積度量同分形維數一樣反映了圖像表面的粗糙程度，即圖像灰度曲面的“起伏程度”。實驗表明，面積度量在許多方面往往能更好地體現不同曲面的特性。對二維數字圖像而言，分形維數2D3，而面積度量K 的取值范圍是正實數，所以它對于不同性質的曲面具有更好的區分度[13]。圖像灰度曲面越粗糙，灰度變化越強烈，面積度量越大。值得注意的是，在不同光滑曲面交界處，例如:前所述，即不同紋理灰度表面之間，灰度起伏變化相對于無論哪一種紋理圖像來說都更加顯著，面積度量相應很大，而這些紋理交界處正是圖像邊界所在，所以可以用面積度量來檢測邊緣。作為邊緣檢測的一種特征，我們稱面積度量為邊緣檢測分形特征。為計算邊緣檢測分形特征，我們采用“地毯覆蓋法”估計圖像灰度表面積測度A(ε)。圖像像素灰度值在二維圖像空間深度方向上構成一個數字的紋理曲面，A(ε)就是在尺度ε下的這個曲面的面積?？紤]與曲面相距ε的所有像素點，顯然，灰度曲面以上的點構成一個上表面U(i,j,ε)，以下的點構成一個下表面B(i,j,ε)。這樣，灰度曲面好像被一個厚度為2ε的“地毯” 所覆蓋。地毯的上、下表面由公式定義如下: （311)對于分形空間上的壓縮映射，即： （312）則W是壓縮映射，且壓縮因子，即：。 （313）由這n個壓縮映射，及其壓縮因子組成一個迭代函數系統IFS[14]。壓縮