20xx年管理類聯考講義——-數學(編輯修改稿)

　

【文章內容簡介】 當且僅當 0ab? 時，左邊等號成立； 當且僅當 0ab? 時，右邊等號成立， 【典型例題】 【例 24】 已知 ,xy是實數， 23 4 6 9 0x y y? ? ? ? ?，若 3axy x y??，則 a 等于（ ） (A) 14 (B) 14? (C) 74 (D) 74? (E) 0 16 【例 25】 已知 0)2(|1| 2 ????? yxyx ， 求 log xy 。 【例 26】 求適合下列條件的所有 x 的值 （ 1） 8|3| ??x （ 2） 8|3| ??x （ 3） 8|3| ??x 【例 27】 已知 1|| ??ax ， 1|| ??xy ，則有（ ） （ A） 2|| ??ay （ B） 1|| ??ay （ C） 2|| ??ay （ D） 1|| ??ay （ E） A、 B、 C、 D 都不正確 【例 28】 已知3213 12 xx ???，則 x 的取值范圍是（ ） （ A）（ 2 1??? ， ] (B) ??，21[ ) (C) )21,21(? (D)（ 21，?? ] (E) （ 21，?? ） 【例 29】 若 ? ?| | | | 0a c b abc? ? ?，則下列不等式成立的是（ ） ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?| | | | | | | | | | | | | | | | | |A a c b B a b c C a b c D a b c E a b c? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 【例 30】 ,xyz 滿足條件 22 1| 4 5 | 2 12x x y y z y? ? ? ? ? ? ?，則 ? ?4 10 zxy? 等于（ ） 2( ) 1 ( ) 2 ( ) ( ) 2 ( )6A B C D E 以 上 均 不 正 確 【例 31】 已知 1bacabc? ? ?，則 2020abc b c a c a ba b c a b b c c a???? ? ? ??????? ??的值為（ ） （ A） 1 （ B） 1 （ C） 1? （ D） 13 （ E）不能確定 【例 32】 設 22y x x? ? ? ?，則下列 結論正確的是（ ） (A)y 沒有最小值 (B)只有一個 x使 y 取到最小值 (C)有無窮多個 x使 y 取到最大值 (D)有無窮多個 x使 y 取到最小值 17 (E)以上結論均不正確 【例 33】 條件充分性判斷 2??ay 成立。 （ 1） 12 ??ax （ 2） 12 ??yx | | | | 2ab? ?? 成立 （ 1） 0a? （ 2） 0b? 函數 )(xf 的最小值為 21 （ 1）121125)( ???? xxxf （ 2）41161)(2???xxxf 方程 )(xf =1 有且僅有一個實根 （ 1） |1|)( ?? xxf （ 2） 1|1|)( ??? xxf 2a b a b?? （ 1） 0, 0ab?? （ 2） 0, 0ab?? 方程 12xx? ? ? 無根 （ 1） ( , 1)x? ??? （ 2） ( 1,0)x?? 四 、 比、比例、均值 比 兩個數相除，又稱為這兩個數的比。即 .: baba ? 其中 a 叫做比的前項， b 叫做比的后項。相除所得商叫做比值。記作 :/a b a b k??，在實際應用中，常將比值表示成百分數，稱為百分比，如 3： 4=75%。 幾個重要關系 18 原值 %pa????? 增 長 了 現值 (1 %)ap? ； 原值 %pa????? 下 降 了 現值 (1 %)ap? ； 甲比乙大 % % (1 % )p p p? ? ? ? ? ?甲 乙 甲 乙乙；甲是乙的 %%pp? ? ?甲 乙 ； 【注】甲比乙大 %p 不等于乙比甲小 %p ，不要混淆。先減小 %p ，再增加 %p 并不能等于原數值。 比例 相等的比稱為比例，記作 ::a b c d? 或 acbd?。 其中 a 和 d 稱為比例外項， b 和 c 稱為比例內項。 當 ::a b b c? 時，稱 b 為 a 和 c 的比例中項，顯然當 ,abc均為正數時， b 是 a 和 c 的幾何平均值。 正比 若 y kx? (k 不為零 )，則稱 y 與 x 成正比， k 稱為比例系數。 【注】并不是 x 和 y 同時增大或減小才稱為正比。比如當 0k? 時， x 增大時， y 反而減小。 反比 若 /y k x? (k 不 為零 )，則稱 y 與 x 成 反 比， k 稱為比例系數。 【注】同正比也不是反向增大或減小才稱為反比，如 0k? 。 比例的基本性質 （ 1） ::a b c d a d b c? ? ? （ 2） : : : : : : : :a b c d b a d c b d a c d b c a? ? ? ? ? ? ? （ 3） （反比性質） a c b db d a c? ? ? （ 4）（更比性質） a c a bb d c d? ? ? （ 5）（合比性質） a c a b c db d b d??? ? ? （ 6）（分比性質） a c a b c db d b d??? ? ? （ 7）（合分比性質） ,a c a mcb d b md???? 特別地，當 1m? 時，有 a c a cb d b d???? ；或者可寫成a c a b c db d a b c d??? ? ??? （ 8）（等比性質） a c e m a c e m ab d f n b d f n b? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ?LL L，其中 0b d f n? ? ? ? ?L 增減性變化關系（ , , 0a b m? ） 19 若 1?ba，則bamb ma ???。注意，反之不一定成立。 若 01ab??，則bamb ma ???。注意，反之不一定成立。 平均值 （ 1）算術平均值 設 n 個數 12, , , nx x xL ，稱 12 nx x xxn? ? ?? L為這 n 個數的 算術平均值 ，簡記為 1nii xxn??? 。 （ 2）幾何平均值 設 n 個正數 12, , , nx x xL ，稱 12 ngnx x x x? L 為這 n 個數的 幾何平均值 ，簡記為1 nngiixx?? ? 【注意】幾何平均值是對于正數而言。 （ 3）基本不等式 ① 當 nxxx ，??, 21 為 n個正數時，它們的算術平均值不小于它們的幾何平均值，即 12 12 ( 0 1 , )n n nix x x x x x x i nn ? ? ? ?＋ ＋ ＋ ， ＝ ， 當且僅當 時，等號成立＝ nxxx ???? 21 。 特別地，當 n＝ 2時，有 12122xx xx? ?（ 12,xx ??R ）， 此時 12,xx的幾何平均值 12xx 稱為 12,xx的比例中項。 ② 1 2 ( 0)aaa ??＋ 　 ，即對于正數而言，互為倒數的兩個數之和不小于 2，且當 1a? 時取得最小值 時 2。 【例 34】 設 6:5:41:1:1 ?zyx，則使 74??? zyx 成立的 y 值是 （ ） (A)24 (B)36 (C)74/3 (D)37/2 （ E）以上結論均不正確 【例 35】 已知 12y y y??且 1y 與212x成反比例， 2y 與 32x? 成正比例。當 0x? 時， 3y?? ，又當 1x?時， 1y? ，那么 y 的 x 表達式是（ ） 222223 3 6 6332 2 2 23 3 332 2 2xA y B y x C y xx x xxD y E y xxx? ? ? ? ? ?? ? ?? ? ? ? ? ???（ ） （ ） （ ）（ ） （ ） 20 【例 36】 求 9 這三個數的算術平均值和幾何平均值。 【例 37】 將一條長為 a 的線段截成長為 x 和 ax? 的兩條線段，使 x 恰是 a 與 ax? 的幾何平均值。我們稱對任意一個量 a 的這種分割為黃金分割，試求 x 。 【例 38】 三個實數 1, x2和 x的幾何平均值等于 4,5和 3的算術平均值，則 x的值為 （ ） （ A）－ 2 （ B） 4 （ C） 2 （ D）－ 2或 4 （ E） 2或 4 【例 39】 ,xy的算術平均值是 2，幾何平均值也是 2，則 11,xy的幾何平均值是（ ） 22( ) 2 ( ) 2 ( ) ( ) ( )32A B C D E 以 上 結 論 均 不 正 確 【例 40】 如果 23,x x x1 三個數的算術平均值為 5，則 1 2 32, 3, 6x x x? ? ?與 8 的算術平均值為（ ） (A) 134 (B) 162 (C)7 (D) 193 (E)以上結論均不正確 【例 41】 直角邊之和為 12 的直角三角形的面積的最大值為（ ） (A)16 (B)18 (C)20 (D)22 (E)不能確定 【例 42】 條件充分性判斷 用 ab 表示十位是 a ，個位是 b 的一個兩位數，有 : ( 1) : ( 1)a b b a a b? ? ?成立 （ 1） ab 是 3 的倍數 （ 2） ab 是 9 的倍數 某公司得到一筆貸款共 68 萬元，用于下屬三個工廠的設備改造。結果甲、乙、丙三個工廠按比例分別得到 36 萬元、 24 萬元和 8 萬元。 （ 1）甲、乙、丙三個工廠按 1 1 1::2 3 9 的比例分配 貸款 （ 2）乙廠所得款額恰是甲廠所得款額與丙廠所得款額的 2 倍的比例中項 21 成立2222dc badc ba ????? (1 ) , ,ac bdbd? 且 均 為 正 數 ( 2) , ,ac bdbd? 且 均 為 負 數 兩數 ,ab的幾何平均值的 3 倍大于它的算術平均值 （ 1） ,ab滿足 2234a b ab?? （ 2） ,ab均為正數 某班學生的平均身高是 米 （ 1）該班有 30 名男生，他們的平均身高為 米 （ 2）該班有 20 名女生，她們的平均身高為 米 ,ab的算術平均值為 8 （ 1） ,ab為不等的正整數，且 11,ab的算術平均值為 16 （ 2） ,ab為正整數，且 11,ab的算術平均值為 16 已知 11l og , ( l og l og ) , l og ( ) ,2 2 2m m m mxya b x y c x y?? ? ? ? ?則 c b a?? 。 （ 1） 2,2 ?? yx （ 2） 10 ??m ,abc的算術平均值是 14/3,而幾何平均值是 4 （ 1） ,abc是 滿足 1abc? ? ? 的三個整數， 4b? （ 2） ,abc是滿足 1abc? ? ? 的三個整數， 2b? 第二章 應用題 【備注】初數中最容易出錯的地方就是應用題，因為應用題的解題技巧很強，稍不留神就會掉入命題者的陷阱里。 關于初等數學 的應用題 有許多 內容 ，比如： 百分比問題， 溶液問題，工程問題等等，要總結 有很 22 多，在這里只是選擇了幾個有代表性的 應用題內容進行講解。 常用的應用題的解法有： ▲轉化法：改變思考的方式和角度，使復雜問題，轉化為熟悉的、簡單的基本問題，或將題中條件，加以轉化，或重新組合，以便得到明確的解題思路，另外把復雜的數量關系中不同的單位制，轉化為統一單位制下的簡單數量關系； ▲窮舉法：這是樸素且實用的方法，對討論對象加以分類，使問題簡單化 ▲圖解法：以圖形表達命題，幫助我們理解題意，發現隱含條件，找到解題途徑； ▲代數法：設未知量找等量關系分別方程。 除了這幾種常用的解法外，還有逆推法、綜合法 、歸納法等等，可依據題目的類型和特