決策理論與方法概述(ppt80頁)(編輯修改稿)

　

【文章內(nèi)容簡介】 ，令 分別為局中人 在各自的策略集 中選擇策略的概率 ， 則稱 ? ? ? ? ? ?nm SSASSG ?????? ???? ?? 2121。, ???ji yx, ??和 ?? SS 和分別為局中人 的一個(gè)混合策略 ? ? ????? mi iimxxxxx1101 且?? ???nj jjnyyyyy110且??和 ? ? ? ?? ??1 1i j jiijyxaxyE 完全信息靜態(tài)競爭型決策 為局中人 的期望所得， 為 的期望所得， 而 的競爭型決策的混合局勢 又記 ? ? ?xyE??? ?yx, ? ? ?????? ????? ??mi iimm xmixxxxxS 11 1,2,1,0, ?? ?????? ???? ??nj jjnnynjyyyyy111,2,1,0),( ??分別為局中人 的混合策略集合。 ??和 完全信息靜態(tài)競爭型決策 定義 如果 則稱 分別為局中人 的最優(yōu)混合策略 ， 稱 為 的最優(yōu)混合局勢 ， 稱 為競爭方 的期望所得 。 ? ? ? ? ? ? vyxExyExyEmnnM SxSySySx??? ?????? ,maxminminmax ?? yx ,??和 ? ??? yx ,Gv? 完全信息靜態(tài)競爭型決策 4. 最優(yōu)混合策略的求解方法 競爭型決策 有混合意義下的解的充要條件是：存在 及數(shù)滿足下列兩個(gè)不等式組： ? ?ASSG 。, ??? nm SySx ?? ?? ,minjxxvxaiimiiij??,2,1,2,101)1(1???????????????njmiyyvyajjnjjij ?,2,1,2,101)2(1????????????????? 完全信息靜態(tài)競爭型決策 設(shè) （ 否則令 ， 則 一定可大于零 ） 。 令 ， 則不等式組 （ １ ） 等價(jià)于下面的線性規(guī)劃： 0?v daa ijij ???v vxx ii ?? ?? ?mi ixS1m in minjxxaimiiij??,2,1,2,101)3( 1????????????? 完全信息靜態(tài)競爭型決策 同理，令 ，問題（ 2）就變?yōu)榫€性規(guī)劃（ 4）： vyy jj ?? ????? njjyS1m ax njmiyyajnjjij,2,1,2,101)4( 1??????????????? 完全信息靜態(tài)競爭型決策 應(yīng)用舉例 例 923 市場進(jìn)入阻撓競爭型決策 。 一種市場上存在一個(gè)壟斷企業(yè) ， 另一個(gè)企業(yè)希望進(jìn)入這一市場 ， 壟斷者為了保持自己的地位需要對進(jìn)入者進(jìn)行阻撓 。 在這種競爭型決策中， 進(jìn)入者有兩種策略可以選擇： “ 進(jìn)入 ” 與 “ 不進(jìn)入 ” ；壟斷者也有兩種策略： “ 容忍 ” 與 “ 反擊 ” 。 他們的支付函數(shù)用以下雙變量矩陣表示 ， 如圖 （ 922） 。 完全信息靜態(tài)競爭型決策 1 ， 1 1 ， 10 ， 2 0 ， 2容 忍 反 擊進(jìn) 入不 進(jìn) 入壟 斷 者進(jìn)入者圖 9 2 2 市 場 進(jìn) 入 阻 撓 競 爭 型 決 策 完全信息靜態(tài)競爭型決策 例 92 4 產(chǎn)量決策的古諾模型 生產(chǎn)同質(zhì)產(chǎn)品的兩個(gè)企業(yè)同時(shí)選擇各自的產(chǎn)量 ，單位成本均為常數(shù)市場需求決定價(jià)格 為了求解其中的納什均衡，需要求得每個(gè)局中人對另一個(gè)局中人策略的最優(yōu)反應(yīng)對于局中人 I來說，他的利潤為 ? ?2,1?iqi ? ?21 qqap ??? )(2111 cqqaq ????? 對 求導(dǎo)可得到利潤最大化的一階條件為 1q 2 21 qcaq ??? 完全信息靜態(tài)競爭型決策 這一函數(shù)決定了面對局中人 2的每種策略時(shí)局中人 1的最優(yōu)反應(yīng)，稱之為局中人 1的最優(yōu)反應(yīng)函數(shù)。類似地，可得到局中人 2利潤最大化的一階條件 212 qcaq ???聯(lián)立兩式，求解得到納什均衡 9)(,322121cacaqq ?????? ???? ?? 完全信息靜態(tài)競爭型決策 如果市場上存在 n個(gè)廠商，每個(gè)廠商的單位成本都是常數(shù) c，市場需求為 ，那么通過同樣推理可知，局中人對其他局中人策略組合的最優(yōu)反應(yīng)函數(shù)可表示為 ??? iqap niqcaq ij ji ,1,2 ?????????? ??? ??這里對 n個(gè)最優(yōu)反應(yīng)函數(shù)聯(lián)立求解就可以得到納什均衡 對 有 ni ,1 ??? ?? ?? ?? ?1,1,1 22?????????? ???ncacpncabncaqii 完全信息靜態(tài)競爭型決策 例 925 假設(shè)有 n個(gè)人共同擁有的一個(gè)公共牧場 ， 每個(gè)人要決定自己放牧羊的數(shù)目 ， 總的羊數(shù)因此為 。 購買和照看 1只羊的成本為常數(shù) c。 設(shè)每只羊的價(jià)值為 ， 隨著羊的增加 ， 草地會越來越擁擠 ， 食物也會更緊張 ， 因此會造成羊的價(jià)值下降 。 另一方面 ， 羊的供給增加也會造成羊的價(jià)值下降 ， 所以有 。 在這種設(shè)定下 ， 局中人的利潤函數(shù)為 iq ?? iqQ ? ?Qfv ?0??f ? ?? ?cQfqii ??? 完全信息靜態(tài)競爭型決策 最優(yōu)化的一階條件為 0???? cfqf i 納什均衡總羊數(shù) 需要滿足的條件 ?Q ? ? ? ? 0??????? cQfn社會最優(yōu)的放牧水平 為使總利潤 最大的羊數(shù)，滿足 ??Q ? ?? ?cQfQ ?? ? ? ? 0???? ????? cQff 完全信息動態(tài)競爭型決策 競爭型決策的擴(kuò)展式表述 競爭型決策的擴(kuò)展式表述包括以下要素： （ 1） 參與人集合： i=1,…,n,此外 ， 我們將用 N代表虛擬參與人 “ 自然 ” ； （ 2） 參與人的行動次序：誰在什么時(shí)候行動； （ 3） 參與人的行動空間：在每次行動時(shí) ， 參與人有些什么選擇； （ 4） 參與人的信息集：每次行動時(shí) ， 參與人知道些 什么； （ 5） 參與人的支付函數(shù)：在行動結(jié)束之后 ， 每個(gè)參與人得到些什么 （ 支付是所有行動的函數(shù) ） ； （ 6） 外生事件 （ 即自然的選擇 ） 的概率分布 。 完全信息動態(tài)競爭型決策 擴(kuò)展式競爭型決策的納什均衡 1. 策略與行為策略 記 為局中人 信息集的集合 ， 局中人 全部可選行動構(gòu)成的集合為 。 這樣 ， 局中人 的純策略可定義為映射 ， 對所有 有 。 局中人 的純策略空間 為這樣的 的集合 ， 也就相當(dāng)于各個(gè)處的行動空間的笛卡爾乘積 ， 即 。 擴(kuò)展型競爭型決策中的納什均衡為這樣的策略組合 ， 其中每個(gè)局中人 的策略 是在它的對手的策略 給定的情況下最大化自己的期望支付 。 iHi i ? ?iHhi hAUA ii??i iii AHs ?: ii Hh ?? ? ? ?iiii hAhs ? ? ????ii Hhii hASiS isi ?si ?is ?is 完全信息動態(tài)競爭型決策 行為策略的正式定義為：記 為 上的概率分布 ， 局中人 的行為策略 的笛卡爾乘積 的元素 。這樣 ， 行為策