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高教版中職數學拓展模塊21橢圓2(編輯修改稿)

2025-12-23 15:26 本頁面

　

【文章內容簡介】 c ，即 c2＋ 2 ac －a2＞ 0 ，所以 e2＋ 2 e － 1 ＞ 0 ，解得 e ＜－ 2 － 1 或 e ＞ 2 － 1. 又 e∈ ( 0 , 1 ) ，故橢囿的離心率 e ∈ ( 2 － 1 , 1 ) ． 1 、點與橢圓的位置關系點 P ( x0， y0) 與橢圓x2a2＋y2b2＝ 1( a b 0 ) 的位置關系：點 P 在橢圓上 ? _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ；點 P 在橢圓內部 ? _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ；點 P 在橢圓外部 ? _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ . x 20a 2 ＋y 20b 2 ＝ 1 x 20a 2 ＋y 20b 2 1 x 20a 2 ＋y 20b 2 1 2 ．直線與橢圓的位置關系直線 y ＝ kx ＋ m 與橢圓x2a2 ＋y2b2 ＝ 1( a b 0 ) 的位置關系判斷方法：由????? y ＝ kx ＋ m ，x2a2 ＋y2b2 ＝ 1.消去 y ( 或 x ) 得到一個一元二次方程 . 位置關系解的個數 Δ的取值相交兩解 Δ____0 相切一解 Δ____0 相離無解 Δ____0 ＝ 3 . 直線與橢圓相交弦長設直線斜率為 k ，直線與橢圓兩交點為 A ( x1，y1) ， B ( x2， y2) ，則 | AB |＝ 1 ＋ k2______ __ __ ＝1 ＋1k2 ______ ___ __ ，一般地， | x 1 － x 2 | ＝? x1＋ x2?2－ 4 x1x2用根與系數關系求解． |x1－ x2| |y1－ y2| 4 ．中點弦問題常用 “ 點差法 ” 求解，即 P ( x0，y0) 是弦 AB 的中點， A ( x1， y1) 、 B ( x2， y2) ，將 A 、B 坐標代入橢圓方程，并兩式相減結合 x1＋ x2＝2 x0， y1＋ y2＝ 2 y0，及y2－ y1x2－ x1＝ k 求解．題型一、直線與橢圓的位置關系的判定例 1 （ 1 ）判斷直線 y ＝ x －12與橢圓 x2＋ 4 y2＝ 2的位置關系．（ 2 ）當 m 為何值時，直線 y ＝ x ＋ m 與橢圓x24＋y2＝ 1 相交、相切、相離？（ 1 ）解：聯立方程組得??????? y ＝ x －12，x2＋ 4 y2＝ 2 ，消去 y ，整理得 5 x2－ 4 x － 1 ＝ 0 ， Δ ＝ ( － 4)2－ 4 179。 5 179。 ( － 1) ＝ 36 ＞ 0 ，即方程有兩個實數根，所以方程組有兩組解，即直線和橢囿相交．（ 2 ）解聯立方程組得????? y ＝ x ＋ m ， ①x24＋ y2＝ 1 ， ② 將 ① 代入 ② 得x24＋ ( x ＋ m )2＝ 1 ，整理得 5 x2＋ 8 mx ＋ 4 m2－ 4 ＝ 0 ③ Δ ＝ (8 m )2－ 4 179。 5 ( 4 m2－ 4) ＝ 1 6 ( 5 － m2) ．當 Δ ＞ 0 ，即－ 5 ＜ m ＜ 5 時，方程 ③ 有兩個不同的實數根，代入 ① 可得到兩個不同的公共點坐標，此時直線與橢囿相交；當 Δ ＝ 0 ，即 m ＝－ 5 或 m ＝ 5 時，方程 ③ 有兩個相等的實數根，代入 ① 可得到一個公共點坐標，此時直線與橢囿相切；當 Δ ＜ 0 ，即m ＜－ 5 或 m ＞ 5 時，方程 ③ 沒有實數根，直線與橢囿相離．變式訓練 1 、已知橢圓 4 x2＋ y2＝ 1 及直線 y ＝ x＋ m . (1) 當直線和橢圓有公共點時，求實數 m 的取值范圍； (2 ) 求直線被橢圓截得的弦最長時直線的方程．解、 (1) 由??????? 4 x2＋ y2＝ 1 ，y ＝ x ＋ m .消去 y 得， 5 x2＋ 2 mx ＋m2－ 1 ＝ 0 ， ∵ 直線與橢圓有公共點， ∴ Δ ＝ 4 m2－ 20( m2－ 1) ≥ 0 ，解得－52≤ m ≤52. ( 2 ) 設直線與橢囿交于 A ( x1， y1) ， B ( x2， y2) ．由 ( 1 ) 知 5 x2＋ 2 mx ＋ m2－ 1＝ 0. 由根與系數的關系得 x1＋ x2＝－25m ， x1x2＝m2－ 15. ∴ | AB | ＝ ? x1－ x2?2＋ ? y1－ y2?2＝ ? x1－ x2?2＋ ? x1＋ m － x2－ m ?2 ＝ 2 ? x1－ x2?2＝ 2[ ? x1＋ x2?2－ 4 x1x2] ＝ 2[4 m225－45? m2－ 1 ? ] ＝2510 － 8 m2. ∵ Δ ＝ 4 m2－ 2 0 ( m2－ 1 ) 0 ， ∴ －52 m 52. ∴ 當 m ＝ 0 時， | AB |最大，此時直線方程為 y

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