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北師大版高中數學選修2-1立體幾何中的向量方法之二(編輯修改稿)

2025-12-24 13:29 本頁面

　

【文章內容簡介】 n?? |. ∴ d =| PA || co s ,P A n?? |= | | | | | c o s , |||P A n P A nn? ? ? ?= ||||PA nn ?. 這個結論說明 , 平面外一點到平面的距離等于連結此點與平面上的任一點 ( 常選擇一個特殊點 ) 的向量在平面的法向量上的射影的絕對值 . ?nA?P?O?8 例 2: 如圖，已知正方形 ABCD 的邊長為 4 ， E 、 F 分別是 AB 、 AD 的中點， GC ⊥平面 ABCD ，且 GC ＝ 2 ，求點 B 到平面 EFG 的距離 . 分析 : 用幾何法做相當困難 , 注意到坐標系建立后各點坐標容易得出 , 又因為求點到平面的距離可以用法向量來計算 , 而法向量總是可以快速算出 . x y z C G D E F A 果斷地用坐標法處理 . B 9 例 2 : 如圖，已知正方形 ABCD 的邊長為 4 ， E 、 F 分別是 AB 、 AD 的中點， GC ⊥平面 ABCD ，且 GC ＝ 2 ，求點 B 到平面 EFG 的距離 . 解：如圖，建立空間直角坐標系 C － xy z ．由題設 C ( 0 , 0, 0 ) ， A ( 4, 4 , 0) ， B ( 0, 4 , 0) ， D ( 4, 0, 0 ) ， E ( 2 , 4, 0 ) ， F ( 4, 2, 0 ) ， G( 0 , 0, 2) ．設平面 E F G 的一個法向量為 ( , , )n x y z? ( 2, 2, 0 ) , ( 2, 4, 2 ) ,E F E G? ? ? ? ?n E F n E G??， 2 2 02 4 2 0xyx y Z????? ? ? ? ??11( , , 1 ) ,33n??B ( 2, 0, 0 )E ?| B E | 2 11 .11ndn?? ? ?答 : 點 B 到平面 EFG 的距離為 2 1111 . x y z G C B A E D F 10 練習 ( 用向量法求距離 ) : 1. 如圖 , ABCD 是矩

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